¿Es la función Lambert W el flujo de Newton de la función exponencial?

Question

¿Es esto correcto?

La función de Lambert W, denotada por $W(z)$, se define como la función inversa de $f(z) = ze^z$. En otras palabras, si $w = W(z)$, entonces tenemos que $z = w e^w$.

El método de Newton continuo es una técnica para encontrar las raíces de una función siguiendo el flujo de su campo vectorial de gradiente. Específicamente, dado una función $f(x)$ y un punto inicial $x_0$, el método de Newton continuo genera una curva de solución $x(t)$ que satisface la ecuación diferencial:

$$\frac{dx}{dt} = -\nabla f(x)$$

donde $\nabla f(x)$ es el vector de gradiente de $f$ en $x$.

En el caso de la función $f(z) = ze^z$, el vector gradiente se da por:

$$\nabla f(z) = (1+z)e^z$$

Por lo tanto, la ecuación diferencial para el método de Newton continuo es:

$$\frac{dz}{dt} = -(1+z)e^z$$

que es exactamente la derivada de la función de Lambert W. Por lo tanto, la curva de solución generada por el método de Newton continuo comenzando en un punto $z_0$ está dada por:

$$z(t) = W(z_0 e^{-t}).$$

En otras palabras, la función de Lambert W es el flujo de la función exponencial bajo el método de Newton continuo; o equivalentemente, la función W es el flujo de Newton de la función exponencial.

Answer 1

Esto no tiene sentido en esta forma.

La solución de $z'(t) = - \nabla f(z(t))$ solo puede tener como límites puntos críticos de $f$. Si $f(z) = ze^z$, esto significa que las soluciones convergen a $z = -1$, lo cual se ve fácilmente directamente. Este no es un valor de la función $W$.

El método de Newton continuo, si se usa para resolver la ecuación escalar $f(z) = y$, considera la ecuación diferencial $$ z'(t) = \frac{y - f(z(t))}{\nabla f(z(t))} $$
"con la esperanza de que el límite de $z(t)$ exista", para citar a John W. Neuberger, quien trabajó mucho en este método. Ese límite entonces debería ser un cero de $y - f(z)$.

Sea $u(t) = f(z(t))$, entonces $u'(t) = \nabla f(z(t))z'(t)$ y la ecuación diferencial se puede escribir como $$ u'(t) = y - u(t) $$ que tiene la solución $$ u(t) = e^{-t}u(0) + (1-e^{-t})y $$ Por lo tanto siempre tenemos $$ z(t) = f^{-1} \left(e^{-t} f(z(0)) + (1-e^{-t}) y\right) $$ para el caso escalar del método de Newton continuo.

En el caso donde $f(z) = ze^z$ y $f^{-1}(u) = W(u)$, la ecuación diferencial se convierte en $$ z' = \frac{y - ze^z}{(1+z)e^z} $$ y la solución es $$ z(t) = W\left(e^{-t}z_0e^{z_0} + (1-e^{-t}) y\right) $$ Si $y \ge -e^{-1}$, entonces la solución está definida para todo $t \ge 0$ no importa cuál sea $z_0$ y converge a $W(y)$. Si $y < -e^{-1}$, la solución existe solo en un intervalo finito de $t$ $[0,t_0]$ y $z(t_0) = -1$, por lo tanto la solución no puede ser continuada para $t > t_0$.

Answer 2

Esta respuesta muestra un poco más claramente la forma en que $z'(t)$ se factoriza del lado derecho de la ecuación. Es un intento de una elaboración de la magistral respuesta de Hans Engler dada arriba.

La derivada $z'(t)$ de la solución $z(t)$ a la Ecuación Diferencial Ordinaria del flujo de Newton no debe aparecer en el lado derecho de la solución, por lo que puede parecer que la fórmula $u'(t) = \nabla f(z(t))z'(t)$ es incorrecta. Sin embargo, la fórmula dada es correcta porque $\nabla f(z(t))$ desaparece de la ecuación cuando se substituye el valor de $z'(t)$ en la ecuación diferencial:

$$z'(t) = \frac{y - f(z(t))}{\nabla f(z(t))}$$

Sea:

$$u(t) = f(z(t))$$

Diferenciamos ambos lados con respecto a $t$:

$$u'(t) = \nabla f(z(t))z'(t)$$

Ahora, utilizando la ecuación diferencial dada, substituimos el valor de $z'(t)$:

$$u'(t) = \nabla f(z(t))\frac{y - f(z(t))}{\nabla f(z(t))}$$

Esto se simplifica a:

$$u'(t) = y - u(t)$$

puesto que $\nabla f(z(t))$ se factoriza y $u(t)=f(z(t))$.

Ahora, la solución a esta ecuación diferencial es:

$$u(t) = e^{-t}u(0) + (1-e^{-t})y$$

Y dado que $u(t) = f(z(t))$, al hacer la sustitución obtenemos:

$$z(t) = f^{-1} \left(e^{-t} f(z(0)) + (1-e^{-t}) y\right)$$

Esta ecuación representa el caso escalar del método continuo de Newton.