Cardinalidad de un grupo con presentación

Question

Sea $G$ un grupo con presentación $$G = \langle a,b,c|a^{\alpha} = b^{\beta}= c^{\gamma} = 1, [a,b] = c, [a,c] = [b,c] = 1 \rangle$$ Donde $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ son números naturales. Quiero demostrar que $G$ es finito y calcular su cardinal.

Primero, es fácil mostrar que $G = \{a^{r}b^{s}c^{t} |r,s,t \in \mathbb{Z}\}$, obviamente con la no unicidad de $r$, $s$ y $t$. Entonces uno intenta definir un mapa (no necesariamente un morfismo, estamos interesados solo en la cardinalidad) $$ \begin{array}{rcl} \varphi \colon \mathbb{Z}/\alpha\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/\beta\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/\gamma\mathbb{Z} & \longrightarrow & G\\ (r + \alpha\mathbb{Z}, s + \beta\mathbb{Z}, t + \gamma\mathbb{Z}) & \longmapsto & a^{r}b^{s}c^{t} \end{array} $$ Este mapa está bien definido (gracias a los conmutadores triviales, la ecuación $a^{r}b^{s}c^{t} = a^{r^{'}}b^{s^{'}}c^{t^{'}}$ es equivalente a $a^{r-r^{'}}b^{s-s^{'}}c^{t-t^{'}} = 1$) y sobre. El problema es la inyectividad, y sospecho que para lograr esto tendré que cambiar $\gamma$ por el orden de $c$ en $G$. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Daré un enfoque ligeramente diferente que encuentro más intuitivo:

(Gracias Derek por señalar un error anterior)

Primero usamos las relaciones para simplificar la presentación:

$a^b=ac$ y $a^c=a$ implica $a=a^{b^\beta}=ac^\beta$ entonces $o(c)\mid\beta$.

De manera similar $(b^{-1})^a=cb^{-1}$ y $b^c=b$ implica $o(c)|\alpha$.

Junto con $c^\gamma=1$ esto da como resultado $o(c)|\gcd(\alpha,\beta,\gamma)=\delta$

Por lo tanto $G=\langle a,b,c|a^\alpha=b^\beta=c^\delta=1,[a,b]=c,[a,c]=[b,c]=1\rangle$.

Pero esta es la presentación para $(C_\alpha\times C_\delta)\rtimes C_\beta$.

Entonces $|G|=\alpha\beta\gcd(\alpha,\beta,\gamma)$