En el sentido estricto, tienes razón en que toda secuencia de Cauchy converge en algún espacio.
Para ser precisos, sea $(X;d_1)$ cualquier espacio métrico con al menos dos puntos, sea $Y$ el conjunto de secuencias de Cauchy en $X$, y define $d_2:Y^2\to\mathbb{R}$; $$d_2(\{x_n\}_n,\{y_n\}_n)=\lim_{n\to\infty}{d_1(x_n,y_n)}$$ Entonces es fácil (bueno, es un buen problema de tarea, de todas formas) verificar que
- $Y$ no es un espacio métrico bajo $d_2$; puntos diferentes de $Y$ podrían estar a distancia $0$ entre ellos.
- Para cada $y\in Y$, existe una clase de equivalencia $c(y)=\{z:d_2(y,z)=0\}$. Sea $Z$ el conjunto de todas las clases de equivalencia, es decir, $Z=\{c(y):y\in Y\}$. Entonces $d_2$ se extiende a $Z^2\to\mathbb{R}$ de forma natural.
- $(Z;d_2)$ es un espacio métrico.
- $(X;d_1)$ se incrusta de forma homeomórfica en $(Z;d_2)$ mediante $x\mapsto c(x,x,x,\dots)$.
- $(Z;d_2)$ es completo.
Por lo tanto, si identificamos $X$ con el subespacio incrustado de $Z$, entonces cualquier secuencia de Cauchy en $X$ converge en $Z$. El límite final puede ser $X$, o tal vez no; mostrar que $X$ es completo es mostrar que el límite final está, de hecho, en $X$.
Por esta razón, $Z$ se llama la completación de $X$.
Dicho esto, algún espacio es mucho más general de lo que le das crédito.
Dados tu notación ($f_n\to f$), creo que asumiste que el límite de una secuencia de Cauchy de funciones es en sí misma una función. Probablemente $X$ era el espacio de funciones continuas bajo la norma uniforme, y pensaste que solo tenías que demostrar que $f$ era una función continua.
¡Pero $f$ podría ser mucho peor! Por ejemplo, sea $X$ el espacio de funciones continuas en $[0,1]$ con la siguiente norma: $$d_1(f,g)=\int_0^1{|f(x)-g(x)|\,dx}$$ Entonces $X$ tiene una completación bien conocida: $L^1([0,1]), el espacio de funciones Lebesgue-integrables en $[0,1]$, hasta una equivalencia casi en todo punto.
Si no has visto la integral de Lebesgue, no te preocupes; la patología se traslada a funciones Riemann-integrables. En particular, se puede mostrar que cualquier función con continuidad por partes está en el equivalente de $(Y;d_2)$ (para usar la notación de arriba).[*] Entonces, para cualquier $r$, la función $\delta_r$ donde $$\delta_r(x)=\begin{cases}r&x=0\\0&x\neq0\end{cases}$$ está en $Y$.
Pero todas esas funciones colapsan al mismo punto en $(Z;d_2)$. Es decir, dado cualquier secuencia convergente $f_n$, podemos encontrar algún $f_{\infty}$ tal que $f_n\to f_{\infty}$…y $f_n\to f_{\infty}+\delta_r$ ¡también!
Así que no podemos definir un mapa de evaluación para describir $f_{\infty}(0)$. De hecho, para cualquier punto fijo $x$, $f_{\infty}(x)$ no está bien definido.
[*]: Como Noiralef señaló en los comentarios, aquí estoy haciendo trampa. Anteriormente definí $Y$ como un conjunto de equivalencia de secuencias de Cauchy; ahora estoy diciendo que una función $\delta_r$ está en $Y$. Lo que quiero decir aquí es que existe una secuencia de funciones continuas (uniformemente acotadas) de Cauchy que converge puntualmente a $\delta_r$.
