¿Cómo resuelvo la desigualdad $x^{12}−x^9+x^4−x+1>0$ usando intervalos?

Question

Mi libro tiene la pregunta $x^{12}x^{9}+x^{4}x+1>0$. La solución dada da tres casos, cuando $x \le 0$, cuando $0 < x \le 1$ y cuando $x > 1. ¿Cómo obtuvieron estos intervalos? ¿Cuál es el método utilizado?

Answer 1

Si $x=0$ o $x=1$ obtenemos $1>0$, por lo que ambos son correctos

Si $x>1$ entonces escribimos de la siguiente manera $$x^{9}(x^3-1)+x(x^3−1)+1>0$$

Si $x<0$ entonces escribimos de la siguiente manera $$x^{12}+x^4+1-(x^9+x^3)>0$$

Si $00$$

Answer 2

Pista: Cuando $x=0$ obtenemos $1>0$ y cuando $x<0$ entonces $-x^9,-x>0$ así que $$x^{12}-x^9+x^4-x+1>0$$ Para $$00$$ y sustituimos $$x=\frac{1}{y}$$ así que obtenemos $$1+y^3(y^5-1)+y^{11}(y-1)>0$$ y para $x>1$ tenemos $$x^9(x^3-1)+x(x^3-1)+1>0$$

Answer 3

Claramente para $x=0$, tenemos $$x^{12}-x^{9}+x^4-x+1>0$$

Ahora para $x\neq 0$, usando la Desigualdad Aritmético-Geométrica

$$\frac{x^{12}+x^{12}+x^{12}+1}{4}\geq \sqrt[4]{x^{12}\cdot x^{12}\cdot x^{12}\cdot 1}=|x^9|>x^9$$

$$\frac{x^4+1+1+1}{4}\geq \sqrt[4]{x^4\cdot 1 \cdot 1\cdot 1}=|x|>x$$

Entonces $\displaystyle \frac{3x^{12}}{4}-x^9+\frac{x^4}{4}-x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}>0$(La igualdad se da cuando $x=1$)

Entonces $$ x^{12}-x^9+x^4-x+1>\frac{3x^{12}}{4}-x^9+\frac{x^4}{4}-x+1>0\forall x\in\mathbb{R}.$$