Subgrupos normales del grupo simétrico infinito

Question

Recientemente tomé un curso sobre teoría de grupos, que mencionó que la siguiente proposición es equivalente a la hipótesis del continuo: "El grupo simétrico infinito (es decir, el grupo de permutaciones en el conjunto $\mathbb{N}$) tiene exactamente 4 subgrupos normales." ¿Alguien tiene referencias o una explicación para esto?

Answer 1

Para un conjunto infinito general $X$, los subgrupos normales de Sym$(X)$ son:

1. Sym$(X)$;

2. el subgrupo trivial;

3. las permutaciones pares de $X$ con soporte finito;

4. para cada cardinalidad $c$ con $\aleph_0 \le c \le |X|$, el grupo de todas las permutaciones de $X$ con soporte menor que $c$.

Hay una demostración sencilla en el Capítulo 8 del libro "Grupos de Permutaciones" por J.D. Dixon y B.M. Mortimer, donde el resultado se atribuye a Baer.

No creo que la prueba utilice CH o GCH aunque el resultado en sí mismo esté afectado por CH.

Answer 2

Estás indagando sobre el teorema de Schreier-Ulam. Esta antigua publicación de MO contiene una respuesta mía con la declaración del resultado; aquí hay un enlace al artículo original (gracias a t.b.). Me encantaría complementar esto y/o esa respuesta con un enlace a una prueba en inglés gratuita y disponible electrónicamente, si alguien conoce una.

Answer 3

La referencia ampliamente conocida para este resultado es Schreier-Ulam (1933). Pero esto fue demostrado previamente por Luigi Onofri (1929), en el tercero de una serie de 3 artículos, de 1927, 1928 y 1929, no mencionados en el artículo de Schreier-Ulam, en el que también introduce (§4 del primer opus) su topología natural en el grupo de permutaciones de un conjunto contable.

L. Onofri. Teoría de las sustituciones que operan en un número infinito de elementos. Memoria 3a. Annali di Matematica Pura ed Applicata Diciembre de 1929, Volumen 7, Número 1, pp 103–130. (acceso restringido: Springerlink).

Esto está en §141, p124:

Los grupos $G_1$ y $G_2$ son los únicos subgrupos invariantes del total $G$. (The groups $G_1$ and $G_2$ are the unique invariant subgroups of the whole group $G$.)

Aquí $G$ es el grupo de permutaciones de un conjunto contable infinito $I$, $G_1$ es su subgrupo de permutaciones finitamente soportadas ("sustituciones que operan en un número finito de elementos" en su lenguaje) y $G_2$ es el subgrupo de elementos pares en $G_1$, y "invariante" significa invariante bajo conjugación.

La prueba de Onofri tiene 3 pasos (trato de usar cursiva cuando traduzco al inglés sin traducir al lenguaje matemático moderno):

(a) define (§100, p104) un subconjunto $H$ de $G$ como infinitamente transitivo de grado infinito si es transitivo por pre composición de aplicaciones inyectivas cuya imagen tiene complemento infinito, o, para estar más cerca de su lenguaje, si para cualquier par de sistemas infinitos de (elementos distintos) $[x_1,x_2,\dots]$, $[y_1,y_2,\dots]$ en $I$ tales que los complementos (llamados sistemas residuales) tanto de $\{x_i:i\ge 1\}$ como de $\{y_i:i\ge 1\}$ son infinitos, existe $s\in H$ ("una sustitución $s$ de $H$") tal que $s(x_i)=y_i$, $(i=1,2,\dots)$. Aquí "grado infinito" se refiere a la infinitud del complemento.

Demuestra (§110, p108) que el único subgrupo del grupo de permutaciones de $I$ que es infinitamente transitivo de grado infinito es el grupo completo de permutaciones.

(b) Demuestra (§136, p121) que el único subgrupo normal que no está contenido en el subgrupo de permutaciones finitamente soportadas, es el grupo completo, y su estrategia consiste en demostrar que dicho subgrupo es infinitamente transitivo de grado infinito.

Su declaración es en realidad Un complesso C contenente una sostituzione h su infiniti elementi e le sue trasformate mediante G, coincide con el totale.

Una traducción literal es: Un complejo que contiene una sustitución h en infinitos elementos y sus transformaciones mediante G coincide con el total.

Una traducción adaptada, desde mi entendimiento, es: "Un subsemigrupo (de $G$, el grupo de permutaciones de $I$) que contiene una permutación infinitamente soportada así como sus conjugadas coincide con el grupo completo de permutaciones."

Aquí debo explicar por qué estoy traduciendo complesso (literalmente "complejo") como "subsemigrupo": "complesso" es evocado, no definido en el primer memorando (1927, §25, p89): de hecho, define una terminología algo ineficiente para subsemigrupos del grupo de permutaciones "(sub)grupos" para subgrupos, "seudogrupos" aquellos subsemigrupos que no son subsemigrupos, e incluso divide los seudogrupos en "simples" y "compuestos", donde "simple" significa que ningún elemento es invertible. Luego parece usar "complejo" como algo que es un grupo, un pseudogrupo "simple", o un pseudogrupo "compuesto". Todavía estoy un poco confundido ya que ocasionalmente usa "complesso" para los cocientes, pero de todos modos la prueba es convincente si se interpreta como "subsemigrupo".

(c) La parte más difícil está hecha, ya que el resultado ahora se reduce a clasificar los subgrupos normales contenidos en el subgrupo de permutaciones finitamente soportadas; este breve paso conclusivo es §141, p124. De hecho, luego (§142) observa que el subgrupo alternante es el "único subgrupo invariante" del grupo de permutaciones finitamente soportadas mientras que el subgrupo alternante en sí mismo no tiene "ningún subgrupo normal excepto la identidad". Es un poco descuidado en cuanto a si considera los subgrupos triviales/completos como subgrupos normales ("invariantes"), pero la prueba es totalmente correcta hasta donde pude verificar.

Él, por cierto, observa (§139) después del paso (b) el corolario de que el grupo de permutaciones de $I$ no tiene ningún subgrupo propio de índice finito, y en particular (§140) que no hay forma de extender de manera coherente la paridad de las permutaciones finitas a las permutaciones arbitrarias (ya que esto produciría un subgrupo de índice 2).

Answer 4

Primero, si deseas una referencia en inglés para la prueba, Group Theory, de W.R.Scott tiene una prueba.

El primer teorema de este tipo se debe a Schreier y Ulam, que fue para el grupo simétrico en un conjunto infinito numerable. Luego Baer extendió este resultado para cardinales infinitos arbitrarios.

Para un grupo simétrico en un conjunto de cardinalidad $\kappa$, los subgrupos normales no triviales son los subgrupos 'de soporte finito' alternante y simétrico (es decir, todas las permutaciones finitas de orden par y soporte finito, y todas las permutaciones de soporte finito), y los subgrupos simétricos de 'soporte acotado', es decir, aquellos de la forma { $x$ es una permutación en $\kappa$ con soporte de cardinalidad a lo sumo $\alpha$ }, para cada cardinal infinito $\alpha<\kappa$.

En cuanto a la hipótesis del continuo, si consideramos $Sym(\mathbb{R})$, los subgrupos normales no triviales son precisamente los dos de soporte finito, y el de permutaciones de soporte contable si, y solo si, la hipótesis del continuo es verdadera en tu modelo de teoría de conjuntos.

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La prueba funciona de la siguiente manera:

1. Toda permutación es un producto de dos involuciones (permutaciones $g$ tal que $g^2=1$)

2. Dada una involución de cardinalidad de soporte $\alpha$ en un subgrupo normal de $\mathrm{Sym}(X)$, al conjuguar y multiplicar en $\mathrm{Sym}(X)$, podemos mostrar que existen involuciones de cardinalidad de soporte de $\alpha+\alpha$, y por lo tanto involuciones de cardinalidad de soporte de $\alpha\aleph_0$ también existen en $\mathrm{Sym}(X)$, pero no podemos producir involuciones de tamaño mayor que $\alpha\aleph_0$ de esta manera, ya que el soporte de $gh$ es a lo sumo de cardinalidad $|\mathrm{supp}(g)|+|\mathrm{supp}(h)|$.

3. Una vez que tenemos una invocación de soporte de cardinalidad $\alpha$ en un subgrupo normal, ese subgrupo normal debe contener todas las invocaciones de soporte de cardinalidad $\alpha$.

4. Con cardinales finitos, esto significa que dado cualquier permutación finita no trivial en un subgrupo normal, el subgrupo de permutaciones alternantes de soporte finito debe estar contenido en el subgrupo normal; y si hay una permutación impar entonces el subgrupo de todas las permutaciones de soporte finito debe estar contenido en el subgrupo normal.

5. Con cardinales infinitos, esto significa que si tenemos una invocación infinita de soporte de cardinalidad $\alpha$ en un subgrupo normal, entonces tenemos todas las invocaciones de soporte $\le\alpha$ en este subgrupo normal, y por lo tanto todas las permutaciones de soporte $\le\alpha$ en ese subgrupo normal.

6. Finalmente, dado un ciclo de $n$ para un $n$ finito, podemos multiplicarlo por un conjugado de él para obtener una involución de soporte "comparable", y de manera similar para un ciclo contable.