Estoy estudiando las operaciones de Steenrod del libro de Hatcher. Al igual que con la homología, se pueden usar solo conociendo los axiomas, sin preocuparse por la construcción real. Sin embargo, mientras que hay muchas razones intuitivas para introducir la homología, no puedo encontrar ninguna para las operaciones de Steenrod. Puedo seguir los pasos en las demostraciones dadas por Hatcher, pero no entiendo por qué se introducen todos estos espacios como $\Lambda X$, $\Gamma X$ y así sucesivamente (según la notación de Hatcher, no sé si es universal). ¿Alguien sabe cómo tener una comprensión intuitiva de lo que está sucediendo?
Respuestas
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Las operaciones de Steenrod son un ejemplo de lo que se conoce como una operación de potencia. Las operaciones de potencia resultan del hecho de que el producto taza es "conmutativo, pero no demasiado conmutativo". Las operaciones provienen de una "refinación" de la operación de tomar potencias $p$-ésimas (cuadrados si $p=2$), cuya construcción se basa en esta versión divertida de conmutatividad.
Una clase de cohomología en $X$ equivale a un mapa $a: X\to R$, donde $R = \prod_{n\geq0} K(F_2,n)$. Por lo tanto, el producto taza de $a$ y $b$ viene dado por $$X\times X \to R\times R \xrightarrow{\mu} R.$$ En otras palabras, el espacio $R$ lleva un producto, que codifica el producto taza. (Hay otro producto en $R$ que codifica la suma de clases de cohomología).
Podrías esperar, dado que el producto taza es asociativo y conmutativo, que si tomas la $n$-ésima potencia de una clase de cohomología, obtendrías una clase de cohomología en el cociente $X^n/\Sigma_n$, donde $\Sigma_n$ es el grupo simétrico, es decir, $$X^n \xrightarrow{a^n} R^n \rightarrow R$$ debería factorizar a través del cociente $X^n/\Sigma_n$. Esto no es del todo correcto, porque el producto taza en realidad solo es conmutativo hasta infinitas homotopías (es decir, es una estructura "E-infinito" en $R$). Esto significa que hay un espacio contractible $E(n)$ con una acción libre de $\Sigma_n$, y un mapa de producto: $$\mu_n' : E(n)\times R^n\to R$$ que es invariante bajo $\Sigma_n$, por lo que factoriza a través de $(E(n)\times R^n)/\Sigma_n$. Así, dado $a: X\to R$, obtienes $$P'(a): (E(n)\times X^n)/\Sigma_n \to (E(n)\times R^n)/\Sigma_n \to R.$$ Si te restringes a la copia diagonal de $X$ en $X^n$, obtienes un mapa $$P(a):E(n)/\Sigma_n \times X\to R.
Si $n=2$, entonces $E(2)/\Sigma_2$ es lo que Hatcher parece llamar $L^\infty$; es el espacio proyectivo real infinito $RP^\infty$. Entonces, $P(a)$ representa un elemento en $H^* RP^\infty \times X \approx H^*X[x]$; los coeficientes de este polinomio en $x$ son las operaciones de Steenrod en $a$.
Otras teorías de cohomología tienen operaciones de potencia (para la teoría K, éstas son las operaciones de Adams).
También se pueden describir los cuadrados de Steenrod directamente a nivel de cadenas: la cuenta en el libro de Steenrod y Epstein es el mejor lugar para encontrar la descripción a nivel de cadenas.
jldugger
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257
Solo piénsalo como teoría de categorías; no es suficiente definir objetos, también hay que tener morfismos. Entonces defines grupos de cohomología, y esos son objetos. Lo que quieres son morfismos entre teorías de cohomología. Tal morfismo sería de hecho una transformación natural
h(X) --> k(X)
para teorías de cohomología h y k. Por supuesto, deberían ser aditivas, ya que las teorías de cohomología aterrizan en grupos abelianos, y deberían preservar la suspensión. Pueden ser graduadas (aumentar o disminuir el grado en una cantidad fija).
Cada vez que tienes dos teorías de cohomología h y k, quieres calcular este grupo abeliano graduado de operaciones de cohomología. Pero puede llegar a ser un trabajo difícil. El caso más simple es cuando k=h, en cuyo caso tendrás un anillo (ya que puedes componer transformaciones naturales). Y el caso más simple de calcular es cuando h es la Z/2-cohomología, donde la respuesta es el álgebra de Steenrod.
Esto puede que no responda a tus preguntas locales, pero es la respuesta global. La respuesta a tus preguntas locales es básicamente que el producto cup no es (graduado)-conmutativo a nivel de cocadena, y si observas detenidamente este fallo, encontrarás que las obstrucciones a la conmutatividad a nivel de cocadena son las operaciones de Steenrod.
AngryHacker
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150
La estructura de "nivel de cadena" a la que otros aludieron está explicada en el libro de Mosher y Tangora, que es bastante agradable. La idea es simple pero a menudo se enreda en el álgebra involucrada.
Como analogía de la teoría de categorías, si tu categoría tiene un producto cartesiano, entonces hay isomorfismos de Z x Z → Z x Z por dos razones: primero porque son visiblemente el mismo objeto y así tienes un morfismo de identidad, y segundo porque X x Y siempre es isomorfo a Y x X para cualquier X e Y, usando un mapa de torsión natural τ. Esto se convierte en un "giro" automorfismo natural en Z x Z.
Lo mismo sucede para el producto de copa en el nivel de cocadenas. El producto de copa (x∪y) de dos cociclos siempre difiere de (y∪x) por un coborde, expresado por una operación natural llamada producto de copa-1 (x∪1y). Pero si z es un cociclo de grado n, (z∪1z) siempre es un cociclo porque su coborde es la diferencia entre (z∪z) y sí mismo. Esta operación natural te da la operación de Steenrod Sqn-1 en la cohomología mod-2. Las cuadrados superiores juegan el mismo juego; hay un producto de copa-2 (x∪2 y) que expresa la diferencia entre (x∪1y) y (y∪1x), y (z∪2z) representa Sqn-2.
Esto responde a una pregunta muy común: ¿Por qué la fórmula para el producto de copa es tan extravagante y asimétrica? La respuesta es que tiene que ser así, porque las operaciones de Steenrod obstaculizan la posibilidad de hacerlo mejor.
El uso de la cohomología del espacio proyectivo real mencionado en respuestas anteriores es muy ingenioso, y los productos de copa-i corresponden en ese procedimiento a ciertas celdas de S∞, pero creo que parte de la historia subyacente está oculta allí.
Robusto
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300
Además de las respuestas anteriores, Esta pregunta sobre la comprensión de los cuadrados de Steenrod puede ser útil.
Lo que Hatcher hace de manera diferente a, por ejemplo, Steenrod y Epstein como mencionó Charles, es que en lugar de construir algo en anillos de cohomología, él construye una operación en espacios Eilenberg-Maclane. El $n$-ésimo grupo de cohomología de cualquier espacio $X$ con coeficientes en $G$ es naturalmente isomorfo al grupo de clases de homotopía de aplicaciones de $X$ a un espacio Eilenberg-Maclane $K(G, n)$: esta identificación es buena y functorial porque si mapeas $X\rightarrow Y$ puedes mapear $X\rightarrow Y\rightarrow K(G, n)$ para obtener un mapa de retroacción en grupos de cohomología. Ahora, si quieres crear una operación de cohomología, que puede definirse naturalmente en grupos de cohomología para cualquier $X$, todo lo que necesitas es una operación $K(G, n)\rightarrow K(H, m)$ y al componer con eso obtienes un mapa natural $H^n(X; G)\rightarrow H^m(X;H).
Entonces la idea de Hatcher es tomar una especie de (smash) producto de $K(\mathbb Z/2, n)$ (que él llama $K_n$) consigo mismo, y mapearlo a $K_{2n}$ de una manera que será como el cuadrado del producto copa en la dimensión $n$, ya que $Sq^n(\alpha)=\alpha^2$ cuando $\alpha$ es de dimensión $n$. Más explícitamente, ya que $H^n(X\wedge X)$ es isomorfo a $H^n(X)\otimes H^n(X)$ por la fórmula de Kunneth, el punto es encontrar un elemento de $H^{2n}(X\wedge X)$ que sea el cuadrado del producto copa. Su notación NO es estándar.
Intuitivamente, la idea es hacer esto para $K_n$ para que funcione en todos los $X$, y poner juntas las copias de $K_n$ mediante una acción de $\mathbb Z/2$. Pero la acción de $\mathbb Z/2$ en $K_n\wedge K_n$ dada por el intercambio no es libre, por lo que para hacerla libre él toma $S^\infty\times K_n\wedge K_n$ y usa el mapa antipodal en $S^\infty$ para mapear $(x, y, z)$ a $(-x, z, y)$ y dar una acción libre de $\mathbb Z/2$. (Las coordenadas aquí realmente están en $S^\infty\times K_n\times K_n). Entonces todo el resto de la construcción trata sobre cómo lidiar con las cosas adicionales que $\mathbb RP^\infty$ te da, y a partir de ahí él puede calcular lo que sucede con los elementos de homología de $\wedge X$ cuando se mapea a $K_{2n}$. Eso te dice la acción de $Sq^{n-i}$ en $H^i(X).
Espero que eso ayude.
knuton
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865
He aquí cómo puedo explicar Steenrod plazas para los geómetras. En primer lugar, si $X$ es una variedad de dimensión $d$, a continuación, se puede producir clases en $H^n(X)$ adecuada de los mapas de $f: V \a X$ donde $V$ es una variedad de dimensión $d-$ n, a través de múltiples formalismos - por ejemplo. intersección de la teoría (el valor en una transversal de $n$-ciclo es el número de puntos de intersección), o el uso de la clase fundamental en localmente finito de homología y la dualidad, o Thom clases, o como el pushforward $ f_*(1)$, donde $1$ es la unidad de la clase en $H^0(V)$. Tomando este último enfoque, supongamos que $f$ es una inmersión y por lo tanto tiene normalmente un paquete de $\nu$. Si $x = f_*(1) \in H^n(X)$, entonces $Sq^i(x) = f_*(w_i(\nu))$. Este es esencialmente el Wu fórmula.
Es decir, si cohomology clases están representadas por submanifolds, y por ejemplo la copa del producto refleja la intersección de los datos, a continuación, Steenrod plazas recordar normal de paquete de datos.
