¿Cómo mostrar que el cono politédrico de vectores no negativos contiene un cono generado finitamente?

Question

Sea $P=\{x \in \mathbb{R}^n \mid Ax \geq b, x \geq 0 \}$ un politopo no vacío para la matriz $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ y $b \in \mathbb{R}^m$.

De acuerdo al teorema de Minkowski-Weyl, $P$ puede escribirse como

$$ P=\text{conv}(v_1,\cdots,v_p)+ \text{cone}(d_1,\cdots,d_l) $$ para algunos $v_i \in \mathbb{R}^n$ y $d_j \in \mathbb{R}^n$.

Sea $C=\{x \in \mathbb{R}^n \mid Ax \geq 0, x \geq 0 \}$.

Demuestra que $\text{cone}(d_1,\cdots,d_l) \subseteq C$.

Lo que no logro entender es cómo relacionar el número finito $l$, que puede ser cualquier número natural, con la dimensión de la matriz $A$.

He intentado lo siguiente:

Sea $z \in \text{cone}(d_1,\cdots,d_l)$, entonces existen números no negativos $\mu_i$ tales que

$$ z= \sum_{i=1}^l \mu_id_i $$ donde $\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_l \geq 0$.

Podemos escribir $z$ de la siguiente manera:

$$ z= \begin{bmatrix} d_1 & d_2 & \cdots & d_l \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \cdots \\ \mu_l \end{bmatrix} $$

Ahora, debemos encontrar una matriz $A$ de $m \times n$ para la cual tengamos $Az \geq 0$ y $z \geq 0$ para probar la afirmación. Sin embargo, el problema es que no necesariamente tenemos $z \geq 0$.

Answer 1

Sabemos que $P$ se puede escribir como $$ P=\operatorname{conv}(v_1,\cdots,v_p)+ \operatorname{cone}(d_1,\cdots,d_l)=V+D. $$ El conjunto $D$ es un cono, por lo tanto, para cada $v\in V$ y $d\in D$ tenemos que $v+td\in P$, $\forall t\ge 0$. Es decir, $$ A(v+td)\ge b,\quad v+td\ge 0,\quad\forall t\ge 0. $$ Ahora dividimos por $t$ y dejamos que $t\to +\infty$ \begin{align} \frac{1}{t}Av+Ad\ge\frac{1}{t}b\quad&\Rightarrow\quad Ad\ge 0,\\ \frac{1}{t}v+d\ge 0 \quad&\Rightarrow\quad d\ge 0. \end{align} Por lo tanto, cada $d\in D$ pertenece a $C$.