¿Cuál es la raíz cero (real) del polinomio $$x^{k+1}-2x^{k}+1=0$$? Si existe, ¿cómo puedo encontrarla o qué método puedo usar?
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Lockie
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Bueno, una cosa que puedes observar es que $x=1$ es una raíz, como siempre ocurre cuando los coeficientes suman $0.$ En ese punto, podrías usar la división larga de polinomios o la división sintética para factorizar.
Alternativamente, nota que la factorización es fácil para $k=0$ y $k=1,$ y para $k\ge 2$ tenemos $$\begin{align}x^{k+1}-2x^k+1 &= x^{k+1}-x^k-x^k+1\\ &= x^k(x-1)-(x^k-1)\\ &= x^k(x-1)-(x-1)\sum_{j=0}^{k-1}x^j\\ &= (x-1)\left(x^k-\sum_{j=0}^{k-1}x^j\right).\end{align}$$
Lamentablemente, encontrar la(s) raíz(es) (aparte de $x=1$) de este polinomio será imposible de determinar en general para $k$ suficientemente grande. Es fácil para $k=2,$ pero después de eso, rápidamente pasa de tedioso a imposible de determinar analíticamente (lo mejor que probablemente podamos hacer para la mayoría de los $k$ es encontrar aproximaciones numéricas).
Sea $f(x)=x^{k+1}-2x^k+1$. Para $k=1$ el polinomio es simplemente $(x-1)^2$ y tiene a $1$ como raíz doble. Para $k=2$ encontramos que $f(x)=(x-1)(x^2-x-1)$ tiene raíces $1$ y $\frac{1\pm\sqrt 5}{2}$. Así que ahora supongamos que $k\ge3$. De $$\tag1f(x)=x^{k+1}-2x^k+1 =(x-1)(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-1)$$ vemos que - nuevamente - una raíz simple está en $x=1$. Para $x\ge2$ tenemos $$\tag2 f(x)=x^{k-1}((x-1)^2-1)+1\ge 1$$ y para $x\le-1$ tenemos $|f(x)|=|x^{k-1}((x-1)^2-1)+1|\ge |x^{k-1}((x-1)^2-1)|-1\ge 2$, por lo que todas las raíces reales están en el intervalo $(-1,2)$. Para $1-\sqrt 2\le x<1$, vemos a partir de $(2)$ que $$|f(x)-1|\le|(x-1)^2-1|<1,$$ por lo tanto no hay raíces en $[1-\sqrt 2,1)$.
El segundo factor en $(1)$ es $=1-k<0$ en $x=1$, por lo tanto $f(1+h)<0$ para $h$ pequeño y positivo, por lo tanto hay (al menos) otra raíz en $(1,2)$, la cual es mejor encontrar numéricamente. Si $k$ es par, $f(-1)=-2<0<1=f(0)$ muestra que una tercera raíz real debe estar en $(-1,0)$, también es mejor encontrarla por métodos numéricos.
Obtenemos $$ f'(x) = (k+1)x^k-2kx^{k-1} = ((k+1)x-2k)x^{k-1}$$ la cual tiene una raíz $(k-1)$ veces en $0$ y una raíz simple en $\frac{2k}{k+1}=2-\frac2{k+1}$. Dado que entre cualquier par de raíces de $f$ debe haber al menos una raíz de $f'$, concluimos que
- Hay solo una raíz de $f$ en $(1,2)$ y debe estar en $(2-\frac2{k+2},2)$
- Hay a lo sumo una raíz de $f$ en $(-\infty,0)$.
Por lo tanto, para $k$ par hay exactamente tres raíces reales, una en $(-1,1-\sqrt 2)$, una en $1$ y una en $(2-\frac2{k+2},2)$. Y para $k$ impar hay exactamente dos raíces reales, una en $1$ y una en $(2-\frac2{k+2},2)$.
