¿Cuál es la diferencia entre los valores más grandes y más pequeños posibles de alguno de estos números?

Question

Si $x, y, z$ son números reales tales que $x+y+z = 5$ y $xy+yz+zx = 3$, ¿cuál es la diferencia entre los valores posibles más grandes y más pequeños de cualquiera de estos números?

¿Qué está mal en este enfoque?

Tenemos que $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz) = 25 \implies x^2+y^2+z^2 = 19$. Por lo tanto, los puntos $(x, y, z)$ están en una esfera de radio $\sqrt{19}$. Por lo tanto, el valor máximo de cualquiera de estos es $\sqrt{19}$ y el más pequeño es $-\sqrt{19}$ y la diferencia es $2\sqrt{19}$.

Answer 1

$(x,y,z)$ no son $\bf{tres}$ puntos. Es un solo punto en el espacio tridimensional, donde $x, y, z$ son las coordenadas.

Ahora piensa en una esfera de radio $\sqrt{19}$. Si la coordenada $x$ es $\sqrt{19}$, ¿es posible que alguna otra coordenada sea $-\sqrt{19}$?

Answer 2

El problema con tu enfoque es que el punto $(x, y, z)$ no solo está en la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 19$, sino que también está en el plano $x + y + z = 5. Es decir, está en la intersección de esta esfera y plano, que es un círculo. Necesitarás encontrar las coordenadas máximas y mínimas de los puntos en este círculo.

Por lo que veo, este problema es bastante complicado de visualizar geométricamente. Puede resolverse mediante multiplicadores de Lagrange (aunque, dado que etiquetaste la pregunta como álgebra precálculo, probablemente no sea el método que se espera que uses). Si mis cálculos son correctos, la diferencia máxima posible es $8/\sqrt3$.

Answer 3

Has demostrado que los puntos están en la esfera que dices, pero no establece que pueden estar en cualquier lugar de la esfera. Si intento reemplazar $x=\sqrt{19}$ en las ecuaciones, $y$ y $z$ salen complejos, por lo tanto $x$ no puede ser tan grande.