Colección de todos los operadores unitarios en un espacio de Hilbert es un conjunto cerrado

Question

Sea $\mathcal{H}$ un espacio de Hilbert. Sea $\mathcal{U(H)}$ el conjunto de todos los operadores unitarios en H. Luego quiero demostrar que $\mathcal{U(H)}$ es un subconjunto (norma-) cerrado del espacio de Banach $\mathcal{L(H)}$, el espacio de todos los operadores lineales acotados en H.

He intentado tomar una secuencia de operadores unitarios en $\mathcal{U(H)}$, pero no pude concluir. ¿Alguien me puede guiar, por favor?

Answer 1

Porque $L(H)$ es completo, una secuencia de Cauchy $\{U_n\}$ de unitarios converge a algún operador $T$. También tenemos $$ \|U_n^*-T^*\|=\|(U_n-t)^*\|=\|U_n-T\|\to 0. $$ Es decir, $U_n^*\to T^*$. Ahora, \begin{align} \|I-T^*T\| &=\|U_n^*U_n-T^*T\|\\[0.3cm] &\leq \|U_n^*U_n-U_n^*T\|+\|U_n^*T-T^*T\|\\[0.3cm] &\leq\|U_n^*\|\,\|U_n-T\|+\|U_n^*-T^*\|\,\|T\|\\[0.3cm] &=\|U_n-T\|+\|U_n-T\|\,\|T\|\\[0.3cm] &\xrightarrow[n\to\infty]{}0. \end{align} Así que $T^*T=I$. Una estimación completamente similar muestra que $TT^*=I$, y por lo tanto $T$ es unitario.