Cómo probar que subadditive función tiene esta propiedad?

Question

Deje $f: [0, \infty) \to \Bbb R$ ser una función que cumplen las siguientes condiciones:

(1) Para cualquier $x,y \geq 0, f(x+y) \geq f(x) + f(y)$.

(2)$x \in [0,2], f(x) \geq x^2 - x$.

Demostrar que, para cualquier entero positivo $M$ positivos y reales $n_1,\dots,n_M$$n_1+\dots+n_M = M$, tenemos

$$f(n_1)+\dots+f(n_M) \geq 0$$

¿Cómo puedo comprobar esta afirmación?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que para un entero no negativo $N$ y no negativo $x$,$f(Nx)\geq Nf(x)$. Ahora bien, si para cada número entero $i$ tal que $1\leq i\leq M$, dejamos $m_i=\lfloor\frac{n_i}{2}\rfloor$$\epsilon_i=n_i-2m_i$, entonces: $$f(n_1)+\cdots+f(n_M)=f(2m_1+\epsilon_1)+\cdots+f(2m_1+\epsilon_1)\\ \geq f(2m_1)+\cdots+f(2m_M)+f(\epsilon_1)+\cdots+f(\epsilon_M)$$ Debido a que cada una de las $m_i$ es un entero no negativo y para cada una de las $\epsilon_i$ tenemos $0\leq\epsilon_i\leq2$, por lo tanto: $$f(2m_1)+\cdots+f(2m_M)+f(\epsilon_1)+\cdots+f(\epsilon_M)\\ \geq m_1f(2)+\cdots+m_Mf(2)+(\epsilon_1^2-\epsilon_1)+\cdots+(\epsilon_M^2-\epsilon_M)\\ \geq 2m_1+\cdots+2m_M+(\epsilon_1^2-\epsilon_1)+\cdots+(\epsilon_M^2-\epsilon_M)\\ =(2m_1+\epsilon_1)+\cdots+(2m_M+\epsilon_M)+(\epsilon_1^2-2\epsilon_1)+\cdots+(\epsilon_M^2-2\epsilon_M)\\ \geq n_1+\cdots+n_M+(-1)+\cdots+(-1)\\ =M-M=0\\$$ Así llegamos a la conclusión de que $f(n_1)+\cdots+f(n_M)\geq0$. Es fácil ver que si la igualdad se mantiene, entonces cada una de las $\epsilon_i$ debe ser igual a $1$. Porque $n_1+\cdots+n_M=M$, por lo tanto cada una de las $n_i$ debe ser igual a $1$ también $f(1)$ debe ser igual a $0$. Obviamente, lo contrario también es cierto.