Demuestra que $m(x)$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $K$ si $m(x)$ es irreducible en $K[x]$.

Question

Me preguntaba si alguien podría ayudarme a demostrar la última parte del siguiente teorema,

Sea $F$ una extensión de $K$ y $\alpha \in F$ algebraico sobre $K$. Sea $m(x)\in K[x]$, $m(x)$ mónico y $m(\alpha)=0$. Demuestra que $m(x)$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $K$ $\iff$ $m(x)$ es irreducible en $K[x].

Mi prueba es la siguiente:

$(\rightarrow)$ Supongamos que $m(x)$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $K$ entonces $\deg m(x)\ge 1$. Ahora supongamos que $m(x)$ es reducible en $K[x]$, entonces $\exists f(x),g(x)\in K[x]$ con $1\le \deg(f(x),g(x))<\deg m(x)$ tal que $m(x)=f(x)g(x)$ evaluando en $\alpha$ se tiene que $0=m(\alpha)=f(\alpha)g(\alpha)\implies f(\alpha)=0$ o $g(\alpha)=0$ esto contradice la definición de $m(x)$ por lo tanto $m(x)$ es irreducible en $K[x].

$(\leftarrow)$ Supongamos que $m(x)$ es irreducible en $K[x]$ entonces $\deg(m(x))\ge 1$ queremos demostrar que $m(x)$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $k$. Así que sea $z(\alpha)$ el polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $K$, entonces Aquí es donde me quedé atascado, ¿podría alguien ayudarme a terminar la prueba?

Answer 1

Necesitas usar que el polinomio minimal de $\alpha$ divide a cualquier otro polinomio con $\alpha$ como raíz.

Prueba: sea $p$ el polinomio minimal, $q$ otro con $\alpha$ como raíz. Por el algoritmo de la división, existen polinomios $Q$, $R$ con $\deg{R}<\deg{p}$ de modo que $$ q(x) = Q(x)p(x)+R(x). $$ Evaluar esto en $\alpha$, obtenemos $$ 0 = q(\alpha) = Q(\alpha)p(\alpha)+R(\alpha) = R(\alpha). $$ Pero esto contradice que $p$ tiene grado mínimo a menos que $R(x) = 0$.

Si $m(x)$ es mónico e irreducible, el único polinomio mónico que divide a $m(x)$ es $m(x)$ mismo, por lo tanto, $m(x)$ es minimal.