Hay una (única) compactificación $X^*$ donde $X^*-X=\{w\}$ de $X$ si $X$ es localmente compacto

Question

He estado tratando de demostrar la siguiente proposición:

Sea $X$ un espacio localmente compacto de Hausdorff. Entonces, existe una compactificación (única) $X^*$ donde $X^*-X=\{w\}$, con $w$ un punto de $X^*$.

(Por ahora, no me interesa demostrar la unicidad, solo la existencia).
Según entiendo, podemos definir la compactificación de la siguiente manera:

Definición: Sea $X$ un conjunto no vacío. Si $Y$ es un espacio compacto, $X$ es un subconjunto de $Y$ y $X$ es denso en $Y$, entonces decimos que $Y$ es una compactificación de $X$.

Pregunta 1: ¿Es ésta la definición más general?

Entonces, debo encontrar un conjunto $X^*=X\cup \{w\}$ tal que $X^*=\overline{X}.

Pregunta 2: ¿Cómo puedo hacerlo exactamente?

EDICIÓN: Sé que la topología elegida para $X^*$ es de la forma $$ \tau^*=\tau \cup \{X^*-C : C\text{ es compacto y } C\subseteq X \} $$ y quiero saber cómo puedo justificar esta topología. (Esto puede reemplazar mi segunda pregunta).

Lo que pensé: $\{w\}$ no puede ser abierto en $X^*$ ya que $X^*$ es la clausura de $X$, y si $\{w\}$ es abierto, hay un punto en $X^*$ que tiene un vecindario sin puntos de $X$ (contradicción).
$X$ debe tener la topología de subespacio. Por lo tanto, dado un conjunto abierto $U$ de $X$, debe ser $U=X\cap U^*$ para algún conjunto abierto $U^*$ de $X^*$. Una forma en que esto puede suceder es si $U$ es abierto en $X^*$. La otra es si $U\cup \{w\}$ es abierto en $X^*$. Entonces, para cada conjunto abierto $U$ de $X$, o bien $U$ es abierto en $X^*$ o $U\cup \{w\}$ lo es (o ambos).
No estoy viendo cómo se excluyen estos últimos y tampoco cómo se utiliza la compacidad de $X^*$ para justificar la parte $\{X^*-C : C\text{ es compacto y } C\subseteq X \}$ de la topología.

Answer 1

La definición más general dice que una compactificación de un espacio $X$ es un par $(Y, e)$ donde $Y$ es compacto y $e: X \rightarrow Y$ es una incrustación, lo que significa que $e$ define un homeomorfismo entre $X$ y $e[X]$ como un subespacio de $Y$, de manera que $e[X]$ es denso en $Y$. A menudo se asume que $Y$ también es Hausdorff; esto dependerá de tu libro de texto.

En este caso necesitamos asumir que $Y$ es Hausdorff para obtener unicidad, etc. Además, se asume que $X$ es localmente compacto y Hausdorff, por lo que es completamente regular y tiene sentido que la compactificación también lo sea.

En tu caso, solo usas la aplicación identidad, en lugar de incrustaciones generales $e$. Esta exactitud adicional es necesaria si queremos discutir la equivalencia de las compactificaciones, porque estas deben respetar las incrustaciones.

Para la compactificación de un punto definimos $Y = X \cup \{w\}$ donde $w \notin X$. También tomamos $e(x) = x$ y definimos la topología en $Y$ como

$$\mathcal{T}_Y = \mathcal{T}_X \cup \{ \{w\} \cup O: O \subset X: X\setminus O \text{ es cerrado y compacto en } X \}\text{.}$$

Dado que $X$ es Hausdorff, la mera compacidad de $X \setminus O$ es suficiente (en espacios Hausdorff, un conjunto compacto es cerrado, y la cerradura es automática); escribí el caso más general donde ni $X$ ni $Y$ son necesariamente $T_2$.

Para ver que esto cumple con los axiomas para ser una topología, consulta la respuesta "paralela" de @egreg. Implica un poco de verificación de casos, pero no es demasiado difícil.

Ahora verifiquemos los requisitos: $Y$ es compacto y $e:X \rightarrow X$ es una incrustación y $X$ es denso en $Y$, que $|Y\setminus X| = 1$ es verdadero por construcción.

Es claro que $Y$ es compacto: si $\mathcal{U}$ es una cubierta abierta de $Y$, entonces $w$ está cubierto por algún $U_w \in \mathcal{U}$. Por la definición de la topología en $Y$, $U_w = \{w\} \cup O_w$, con $X \setminus O_w$ compacto. Los puntos de $X \setminus O_w$ están cubiertos por finitos $\mathcal{U}' \subset \mathcal{U}$, y luego $Y$ está cubierto por esos $\mathcal{U'}$ y $U_w$ juntos, ya que $ Y = \{w\} \cup O \cup (X\setminus O_w) = \{w\} \cup X$. Entonces, toda cubierta abierta de $Y$ tiene una subcubierta finita.

$Y$ es Hausdorff: sean $p,q \in Y$ con $p \neq q$. Si $p , q$ son ambos en $X$, tienen vecindades abiertas disjuntas $O_p$ y $O_q$ en $X$ por suposición, y estos $O_p$ y $O_q$ son todavía abiertos y disjuntos en $Y$. Si uno de ellos es igual a $w$, digamos (no importa) $q =w$, entonces sea $U_p$ un conjunto abierto de $X$ tal que $\overline{U_p}$ es compacto (o sea $C_p$ un vecindario compacto de $p$, dependiendo de cómo tu texto defina la local compacidad, y establece $U_p = \operatorname{int}(C_p)$). Entonces $U_p$ es abierto en $Y$ y $U_q = \{w\} \cup (X \setminus \overline{U_p})$ es abierto en $Y$ (como $X \setminus (\overline{U_p}) = \overline{U_p}$ es compacto). Y claramente son disjuntos.

Si $O$ es abierto en la topología relativa $\mathcal{T}_Y$ restringida a $X \subset Y$, entonces $O = O' \cap X$ para algún $O \in \mathcal{T}_Y$. Esta es la definición de una topología de subespacio. Si $O' \in \mathcal{T}_Y$, entonces $O = O'$ y $O \in \mathcal{T}_X$. O si $O' = \{w\} \cup U$ con $U \subset X$ con $ \setminus U$ compacto. Entonces como se señaló, por la $T_2$-nes, $X \setminus U$ es cerrado y por lo tanto $X \setminus (X \setminus U) = U$ es abierto en $X$ y $O =O' \cap X = U \in \mathcal{T}_X.

Entonces, la topología que $X$ hereda de $Y$ es exactamente la original $\mathcal{T}_X$; no agregamos nuevos conjuntos abiertos a $X$ cuando construimos $Y$ (esta es la razón por la que para $X$ general necesitamos que el complemento de $U$ sea tanto cerrado como compacto: compacto para la prueba de compacidad anterior, cerrado para mostrar que $X$ no tiene nuevos conjuntos abiertos). Por lo tanto, $e(x) = x$ de $X$ a $Y$ es verdaderamente una incrustación (la apertura de $e$ se ha mostrado arriba). Que $X$ es denso en $Y$ es claro cuando $X$ no es compacto, ya que $w \in \overline{X}$, cada vecindad de $w$ es de la forma $U = \{w\} \cup O$ e interseca a $X$, de lo contrario $X = X\setminus O$, lo que no puede ser ya que el último es compacto. Nota que si $X$ fuera compacto, podríamos tomar $O = \emptyset$ y $w$ sería un punto aislado de $Y$ y $X$ no sería denso. Este es un caso degenerado (no tenemos una compactificación adecuada en ese caso).

Entonces, $Y$ satisface los requisitos para la compactificación de Aleksandrov.

Answer 2

Deseas que $X^*=X\cup\{e\}$ esté dotado de una topología que induzca la misma topología que se te da en $X$ y que $X^*$ sea compacto.

Busquemos algunas condiciones necesarias sobre esta topología.

Supongamos que el conjunto abierto $U$ contiene a $e$. Entonces $X^*\setminus U$ debe ser compacto, porque es cerrado en $X^*$. De manera inversa, si $K$ es compacto en $X$, entonces lo será en $X^*$ y por lo tanto $X^*\setminus K$ debe ser abierto.

Nuevamente, si $U$ es abierto en $X^*$ y $e\in U$, entonces $U\cap X$ debe ser abierto en $X$. Dado que queremos que $X^*$ sea Hausdorff, $\{e\}$ es cerrado; por lo tanto $X$ es abierto en $X^*$ y en consecuencia, cada conjunto abierto en $X$ también es abierto en $X^*.

Hasta ahora tenemos:

1. cada conjunto abierto en $X$ debe ser abierto en $X^*$
2. el complemento de cada conjunto compacto en $X$ debe ser abierto en $X^*.

Veamos si estos conjuntos forman una topología.

Sea $(K_i)$ una familia de conjuntos compactos en $X$ y consideremos $U_i=X^*\setminus K_i$. Entonces $$ \bigcup_i U_i = X^*\setminus\Bigl(\bigcap_i K_i\Bigr) $$ es el complemento de un conjunto compacto.

Sigue fácilmente que la familia de conjuntos con la que estamos tratando es cerrada bajo uniones arbitrarias.

Las intersecciones finitas se manejan de manera similar: la unión de un número finito de conjuntos compactos es compacta.

Es claro que $X$ es denso en $X^*$, porque cada conjunto abierto no vacío en $X^*$ interseca de manera no trivial a $X$.

Ahora solo necesitamos verificar que la topología es Hausdorff. Si $x, y \in X$, $x\ne y$, entonces obviamente podemos encontrar dos conjuntos abiertos disjuntos que contienen $x$ y $y$, respectivamente.

Así que nos quedamos con $x\in X$ y $e$. Si $U$ es un conjunto abierto que contiene a $x$ y $V$ es un conjunto abierto que contiene a $e$, entonces se sigue que $U\subseteq X^*\setminus V$, por lo que $X^*\setminus V$ es un vecindario compacto de $x$ en $X$.

En particular, $X$ debe ser localmente compacto. De manera inversa, si $X$ es localmente compacto, toma un vecindario compacto $K$ de $x$ en $X$ y define $V=X^*\setminus K$. Entonces $K$ y $V$ son vecindarios disjuntos de $x$ y $e$, respectivamente, por lo que $X^*$ es Hausdorff.

Observa que esto también demuestra la unicidad.

Answer 3

Esta es una construcción bien conocida llamada la extensión de Alexandroff.