Mostrar $\lim_{n \to \infty}\prod\left(1+\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\right) = e^{\int_{0}^{1}f(x)dx}$ donde $f(x)$ es continua

Question

Necesito mostrar: $$\lim_{n \to \infty}\prod\left(1+\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\right) = e^{\int_{0}^{1}f(x)dx}$$

Mi intento:

$\lim_{n \to \infty}[\sum_{k=1}^{n}\log(1+\frac{1}{n}f(\frac{k}{n}))-\log(e^{\int_{0}^{1}f(x)dx})= 0 $

$\lim_{n \to \infty}[\sum_{k=1}^{n}\log(1+\frac{1}{n}f(\frac{k}{n}))-\int_{0}^{1}f(x)dx]= 0 $

$\lim_{n \to \infty}[\sum_{k=1}^{n}\log(1+\frac{1}{n}f(\frac{k}{n}))-\log(e^{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})})]= 0 $

$\lim_{n \to \infty}[\sum_{k=1}^{n}\log(\frac{1+\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})}{e^{\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})dx}})] = \lim_{n \to \infty}\log((\frac{1+\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})}{e^{\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})}}))+\cdots+\lim_{n \to \infty}\log((\frac{1+\frac{k}{n}f(\frac{k}{n})}{e^{\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})}}))+ \cdots + \lim_{n \to \infty}\log((\frac{1+\frac{1}{n}f(\frac{n}{n})}{e^{\frac{1}{n}f(\frac{n}{n})}})) \cdots (1)$

(Dado que $\log(x)$ es una función continua) $\lim_{n \to \infty}log((\frac{1+\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})}{e^{\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})}})) = log(\lim_{n \to \infty}(\frac{1+\frac{k}{n}f(\frac{k}{n})}{e^{\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})}}))$

Sabemos que $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}f(\frac{k}{n})\to 0$

Por lo tanto, es de la forma $\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-1}{x} = 1$

Luego $\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\log(1+\frac{1}{n}f(\frac{k}{n}))= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}\log(1) = 0$

¿Es correcto mi enfoque?

Answer 1

No estoy seguro de lo que estás haciendo a partir de la tercera línea en adelante (la suma está en el exponente, no término por término), pero empezando con la segunda línea y asumiendo la finitud de $f(x)$ en $[0,1]$ y $n$ siendo grande puedes estimar lo siguiente $$\sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{1}{n}\,f\left(\frac{k}{n}\right)\right) = \sum_{k=1}^n \left[ \frac{1}{n}\,f\left(\frac{k}{n}\right) + O\left(1/n^2\right) \right] \\ = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) + O(1/n) \, .$$

Answer 2

No puedes ir de $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n$ a $\sum_{k=1}^n\lim_{n\to\infty},$ porque el número de términos en la suma depende de $n.$ La suma ni siquiera tiene sentido fuera del límite, porque no hay ningún valor de $n$ ahí.

En particular, todas las integrales de Riemann serían cero si pudieras hacer esto. Si $f(x)$ está acotada en $[0,1],$ entonces $$\int_0^1 f(x)\,dx =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac1nf(k/n)$$ Pero dado que $f$ está acotada, $\frac1nf(k/n)\to 0$ para cualquier $k.$

Entonces tu argumento nos daría cero para todas las integrales de Riemann.

Como señaló un comentarista, utiliza que $\log(1+x)=x+O(x^2),$ para $|x|<1.$

Una forma de obtener un límite de cero para $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_{n,k}\tag1$$ es mostrar que los términos satisfacen $$\lim_{n\to\infty}n\max_{k\in\{1,2,\dots,n\}} |a_{n,k}|=0$$ para todos los $k.$

En tu caso: $$a_{n,k}=\log\left(1+\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\right)-\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$$

---

Otro enfoque es utilizar el teorema de convergencia dominada.

Si $\lim_{n\to\infty}a_{n,k}= 0$ para todos los $k,$ y $b_k$ es una secuencia tal que $|a_{n,k}|\leq b_k$ para todos los $k,n,$ y $\sum b_k<+\infty,$ entonces (1) converge a $0$.