El lado contravariante de la estructura Yoneda de Cat

Question

Estoy usando una notación cercana a las "estructuras Yoneda" de Street-Walters.

Para cualquier categoría localmente pequeña $\textbf{A}$ existen, por supuesto, $\hat{\textbf{A}}:=\textbf{set}^{\textbf{A}^{op}}$ y $\check{\textbf{A}}:=(\textbf{set}^{\textbf{A}})^{op}$ así como las correspondientes inclusiones de Yoneda $Y(\textbf{A}):\textbf{A}\rightarrow\hat{\textbf{A}}$ y $Z(\textbf{A}):\textbf{A}\rightarrow\check{\textbf{A}}.

Para cualquier funtor localmente pequeño $F:\textbf{A}\rightarrow\textbf{B}$, existe un funtor covariante $F$-ponderado $\textbf{B}(F,1):\textbf{B}\rightarrow\hat{\textbf{A}}$ así como uno contravariante $\textbf{B}\langle1,F\rangle:\textbf{B}\rightarrow\check{\textbf{A}}$ y la evaluación de $F$ en flechas puede ser codificada mediante una transformación natural a partir de la Yoneda covariante $\chi^F:Y(\textbf{A})\Rightarrow\textbf{B}(F,1)F$ o a partir de la contravariante $\psi^F:Z(\textbf{A})\Rightarrow\textbf{B}\langle 1,F \rangle F.

Es un hecho que, en $\textbf{Cat}$, el funtor covariante $F$-ponderado es una extensión izquierda de Kan a lo largo de $F$ de la Yoneda covariante de su dominio (Axioma SW 1 para la estructura Yoneda de $\textbf{Cat}$) y que $F$ es el levantamiento izquierdo absoluto de Yoneda a lo largo del $F$-ponderado (Axioma SW 2), es decir:
$(1) \hspace{12pt} (\textbf{B}(F,1),\chi^F)=lan_FY(\textbf{A})$
$(2) \hspace{12pt} (F,\chi^F)=LIF_{\textbf{B}(F,1)} Y(\textbf{A})$
Al adaptar pedantemente la prueba de $(1)$ puedo ver su versión contravariante:
$(1*) \hspace{8pt}(\textbf{B} \langle 1,F \rangle,\psi^F)=lan_FZ(\textbf{A})$

¿Es $(1*)$ una consecuencia de $(1)$ en el sentido de que hay una forma directa, que supongo debería pasar a través de los profuntores subyacentes, de probar $(1*)$ asumiendo $(1)$?

¿Existe una versión contravariante de $(2)$?

Answer 1

(Intenté poner esto como un comentario, pero probablemente se excedieron las limitaciones de espacio. Me disculpo si esto no es la práctica habitual)
Gracias a Sergio Buschi por la sugerencia.
De hecho (1*) no es más que lo opuesto a otra instancia del axioma SW-1, a saber
$(1_a) \hspace{24pt}(\textbf{B}^{op}(F^{op},1) ,\chi^{F^{op}})=lan_{F^{op}}Y(\textbf{A}^{op})$
De hecho, resulta que:
$Y(\textbf{A}^{op})=Z(\textbf{A})^{op} \hspace{24pt} \textbf{B}^{op}(F^{op},1)=\textbf{B} \langle1, F \rangle^{op} \hspace{24pt} \chi^{F^{op}}=\psi^{F}$
(donde $\textbf{B} \langle1, F \rangle$ denota el funtor $\textbf{B} \rightarrow \check{\textbf{A}}:B \mapsto \textbf{B}(B,F-)$)
Entonces, la involución de dualidad $(-)^{op}: \textbf{Cat} \rightarrow \textbf{Cat}^{co}$ convierte $(1_a)$ en una extensión de Kan derecha en $\textbf{Cat}^{co}$ que es la extensión de Kan izquierda $(1*)$ en $\textbf{Cat}$.
Una aplicación similar del axioma SW-2 produce:
$(2_a) \hspace{24pt}(F^{op},\psi^{F})=LIF_{\textbf{B}\langle 1,F \rangle^{op}}Z(\textbf{A})^{op}$
(donde $LIF$ significa levantamiento izquierdo absoluto)

Answer 2

Me doy cuenta de que la pregunta no fue precisa, pero ahora espero entender.
Para cualquier funtor localmente pequeño $F:\textbf{A}\rightarrow\textbf{B}$, la evaluación de $F$ en flechas puede ser codificada mediante $\chi^F:Y(\textbf{A})\Rightarrow\textbf{B}(F,1)F$ o $\psi^F:\textbf{B}\langle 1,F \rangle F \Rightarrow Z(\textbf{A})`.
Los Axiomas SW 1 y 2 son
$(1) \hspace{12pt} (\textbf{B}(F,1),\chi^F)=lan_FY(\textbf{A})$
$(2) \hspace{12pt} (F,\chi^F)=LIF_{\textbf{B}(F,1)} Y(\textbf{A})$
Los mismos axiomas aplicados a $F^{op}$ directamente producen
$(1*) \hspace{8pt}(\textbf{B} \langle 1,F \rangle,\psi^F)=ran_FZ(\textbf{A})$
$(2*) \hspace{12pt} (F,\psi^F)=RIF_{\textbf{B}\langle 1,F \rangle} Z(\textbf{A})$
(donde $RIF$ significa levantamiento absoluto a la derecha). Así que el lado contravariante de una estructura de Yoneda puede ser explotado en una 2-categoría con una involución de dualidad.