Integral doble indefinida

Question

En el cálculo hemos sido introducidos primero con la integral indefinida, luego con la definida. Luego se nos ha presentado el concepto de integral doble (definida) y de integral múltiple (definida). ¿Existe el concepto de integral indefinida doble (o múltiple)? Si la respuesta es sí, ¿cómo se define y por qué no lo aprendemos? Si la respuesta es negativa, ¿por qué es así?

Answer 1

La respuesta es afirmativa. Si se asume en la secuela que todas las funciones son "ordenadas", entonces tenemos: $$ u(p,q) = \iint f(p,q)\, dp\, dq = \iint f(p,q)\, dq\, dp \\ \Longleftrightarrow \quad \frac{\partial^2}{\partial q \, \partial p} u(p,q) = \frac{\partial^2}{\partial p \, \partial q} u(p,q) = f(p,q) $$ En particular, si las derivadas parciales cruzadas son cero: $$ \frac{\partial^2}{\partial q \, \partial p} u(p,q) = \frac{\partial^2}{\partial p \, \partial q} u(p,q) = 0 $$ Haz la integración: $$ u(p,q) = \iint 0 \, dq\, dp = \int \left[ \int 0 \, dq \right] dp = \int f(p) \, dp = F(p) $$ Por otro lado: $$ u(p,q) = \iint 0 \, dp\, dq = \int \left[ \int 0 \, dp \right] dq = \int g(q) \, dq = G(q) $$ Porque $\;\partial f(p)/\partial q = \partial g(q)/\partial p = 0\,$ : ese es el significado de "variables independientes".
Concluimos que la solución general de la EDP $\;\partial^2 u/\partial p \partial q = \partial^2 u/\partial q \partial p = 0\;$ está dada por: $$ u(p,q) = F(p) + G(q) $$ Este resultado es más interesante de lo que podría parecer a primera vista.

Lema. Dejemos que $a\ne 0$ y $b\ne 0$ sean constantes (eventualmente complejas) , entonces: $$ \frac{\partial}{\partial (ax+by)} = \frac{1}{a}\frac{\partial}{\partial x} + \frac{1}{b}\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial ax} + \frac{\partial}{\partial by} $$ Prueba con una conocida regla de la cadena para las derivadas parciales (para cada $u$ ): $$ \frac{\partial u}{\partial (ax+by)} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial (ax+by)} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial (ax+by)} $$ Dónde: $$ \frac{\partial x}{\partial (ax+by)} = \frac{1}{\partial (ax+by)/\partial x} = \frac{1}{a} \\ \frac{\partial y}{\partial (ax+by)} = \frac{1}{\partial (ax+by)/\partial y} = \frac{1}{b} $$ Consideremos ahora la siguiente ecuación diferencial parcial (ecuación de onda): $$ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 $$ Con un poco de Cálculo de operadores , se descomponen en factores: $$ \left[ \frac{\partial}{\partial c t} - \frac{\partial}{\partial x} \right] \left[ \frac{\partial}{\partial c t} + \frac{\partial}{\partial x} \right] u = \left[ \frac{\partial}{\partial c t} + \frac{\partial}{\partial x} \right] \left[ \frac{\partial}{\partial c t} - \frac{\partial}{\partial x} \right] u = 0 $$ Con el lema anterior, esto se convierte en: $$ \frac{\partial}{\partial (x-ct)}\frac{\partial}{\partial (x+ct)} u = \frac{\partial}{\partial (x+ct)}\frac{\partial}{\partial (x-ct)} u = 0 $$ Con $p = (x-ct)$ y $q = (x+ct)$ como nuevas variables independientes. Ahora haz la integración y encuentra que la solución general de la ecuación de onda está dada por: $$ u(x,t) = F(p) + G(q) = F(x-ct) + G(x+ct) $$ Se interpreta como la superposición de una onda que viaja hacia delante y otra que viaja hacia atrás.

Se puede hacer lo mismo con la ecuación de Laplace bidimensional: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 $$ Descomponer en factores (y tener cuidado con las soluciones complejas): $$ \left[ \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right] \left[ \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right] u = \left[ \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right] \left[ \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right] u = 0 $$ Esto se convierte en: $$ \frac{\partial}{\partial (x+iy)}\frac{\partial}{\partial (x-iy)} u = \frac{\partial}{\partial (x-iy)}\frac{\partial}{\partial (x+iy)} u = 0 $$ Con $\;z=x+iy\;$ y $\;\overline{z}=x-iy\;$ como nuevas y complejas variables independientes.
Ahora haz la integración: $$ u(x,y) = F(z) + G(\overline{z}) $$ Las soluciones están relacionadas con funciones holomórficas en el plano complejo.

Answer 2

En mi opinión, esta pregunta es bastante profunda, pero admite una respuesta positiva. Sin embargo, en lugar de intentar responderla, intentaré dar algunas intuiciones e indicar a los interesados la dirección correcta.

Un caso variable.

Una integral indefinida $\int f(x) \, dx$ se entiende como una función $F$ que ayuda a evaluar la integral definida sobre un intervalo $[a,b]$ de la siguiente manera: dados los números $a$ y $b$ , $$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).$$ La operación en el lado derecho de la última ecuación es mucho más sencilla que la ecuación de la izquierda (que es una operación de límite). Así, el conocimiento de la integral indefinida $F$ es de gran ayuda a la hora de evaluar integrales.

Nociones para la generalización.

Este concepto admite una cierta generalización al cálculo multivariante en el contexto del teorema de Stoke. (En esta parte voy a ser manoseado, pero al final señalaré una fuente rigurosa).

Esta vez, sin embargo, no habrá una función tan mágica como la de antes, que podrías evaluar en dos puntos para obtener una respuesta. Más bien, la generalización intenta imitar el siguiente comportamiento: si $f=F',$ por el teorema fundamental del cálculo, $$\int_a^b F'(x) \, dx = F(b) - F(a).$$ Obsérvese que los puntos $a$ y $b$ formar la frontera del intervalo $[a,b]$ , por lo que se podría decir que la integración de $F'$ en un intervalo asciende a evaluando $F$ en el límite de ese intervalo . Obsérvese también que los signos obedecen a una regla: el punto fronterizo que se encuentra hacia la dirección "positiva" del intervalo recibe el signo más, y la otra dirección recibe el signo menos.

Ahora imagina un contexto tridimensional, donde quieres integrar una función de tres variables $f(x,y,z)$ sobre la bola de la unidad. Incluso si encuentras una "función" $F$ que de alguna manera satisface una generalización propia de " $f = F'$ ", ahora tienes un número infinito de puntos en la frontera. ¿Cómo es $F$ ¿se utiliza en este caso?

Esta dificultad se supera integrando de alguna manera los valores de $F$ a lo largo del borde de la bola (es decir, la esfera unitaria). También hay que prestar especial atención a los "signos" que corresponden a cada punto, al igual que en el caso unidimensional. Estos deben considerarse dentro de la integral a lo largo del borde.

Los teoremas.

Así que, con estas ideas en mente, puede comprobar la teorema de la divergencia un caso especial de Teorema de Stoke para el caso de tres variables. Siguiendo con nuestro ejemplo tridimensional, si $B$ es la bola unitaria y $\partial B$ es su frontera: $$\int_B \nabla \cdot \mathbf{F}(\mathbf{x}) \, dx\, dy\, dz = \int_{\partial B} \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\mathbf{n}(\mathbf{x})\, dS(\mathbf{x}).$$

Aquí, la generalización correcta de

al darse cuenta de que $f$ es la derivada de alguna función $F$ (la integral indefinida del caso 1-D)

es

al darse cuenta de que $f$ es la divergencia de algún campo vectorial $\mathbf{F}$ eso es, $f = \nabla \cdot \mathbf{F}$ .

Del mismo modo, los análogos correctos para los "signos" que dependen de los "extremos positivos/negativos del intervalo" que ponderan los puntos $\mathbf{x}$ resultan ser las "direcciones normales a la superficie", denotadas por $\mathbf{n}(\mathbf{x})$ que proyectan los valores del campo vectorial $\mathbf{F}(\mathbf{x})$ , "sopesándolos" en la dirección adecuada.

Diferencia importante.

Ahora, esta identidad afirma con éxito que la evaluación de la integral triple en el LHS equivale a evaluar una integral de superficie (integral doble) en el RHS. Sin embargo, nada garantiza que la operación en el derecho sea más fácil de realizar. Si esta conversión es útil o conveniente desde el punto de vista computacional dependerá del contexto, e incluso se podría utilizar al revés si es más conveniente.

Espero haberte convencido de que aquí hay mucho más de lo que se puede abarcar en una sola respuesta. Si quieres aprender sobre estos temas de forma rigurosa, te recomiendo que leas un libro de "cálculo sobre variedades", como Bachman's . Aprenderás sobre las formas diferenciales integradoras, y sobre las formas diferenciales exactas, que son las que admiten este tipo de generalización de la "integral indefinida".

Answer 3

Ahora me he dado cuenta de que como integral doble indefinida, utilizamos el concepto de ecuaciones diferenciales parciales (donde $z=z(x,y)$ ¡)! Mientras encontramos la solución de estas ecuaciones, ¡hacemos lo mismo que cuando queremos encontrar la primitiva de una función de una variable! Además, mientras resolvemos una integral indefinida de una integral de una variable, en la solución tenemos una constante, y en la misma lógica, mientras resolvemos la EDP de una función de dos variables, obtenemos dos constantes $c_1$ y $c_2$ .