Sea $\mathbb{H}_\mathbb{C}^n$ el espacio hiperbólico complejo de dimensión n. Este espacio es un análogo complejo del espacio hiperbólico. Es isométrico al cociente del hiperboloide $$|z_0|^2-|z_1|^2-\dots-|z_n|^2=1$$ en $\mathbb{C}^{n+1}$ por $S^1.
Pregunta 1. ¿Se sabe que las bolas redondas en $\mathbb{H}_\mathbb{C}^n$ minimizan el área superficial entre todos los cuerpos de un volumen dado?
(Estoy casi seguro de que la respuesta no se conoce.)
Pregunta 2. ¿Se ha conjeturado en algún lugar?
Estoy bastante seguro de que es una conjetura algo reputada, pero no tengo una referencia clara donde se afirme.
Editar: Se afirma en "Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos" de Gromov, 6.28 (1/2+) (de hecho, se afirma para todos los espacios simétricos de rango uno).
Puede ser evocado en un artículo de Hsiang y Hsiang en Inventiones, donde demuestran que los dominios isoperimétricos en productos de espacios hiperbólicos y euclídeos son invariantes bajo el grupo de todas las isometrías que fijan el centro de gravedad. Parece una conjetura razonable que esto sea cierto en todos los espacios simétricos de curvatura no positiva. Esa conjetura podría estar planteada en el artículo de Hsiang y Hsiang, y es una generalización amplia de la conjetura en la que estás interesado.
Mi respuesta puede llegar diez años tarde, pero se ha logrado un gran avance hacia una demostración de esta conjetura, considerando un límite inferior en la curvatura media hermitiana, al menos cuando la frontera es suficientemente suave, por Xiaodong Wang en Una fórmula integral en geometría Kahler con aplicaciones, Comun. de Mat. Contemp. 19 (2017), no. 5, 1650063. Ver Teorema D en eso.
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