Distancia entre vértices en un triángulo

Question

Demuestra que la suma de distancias desde cualquier punto en el interior de un triángulo a tres vértices del triángulo es menor que la suma de los dos lados más largos del triángulo

Answer 1

Probemos que $$PA+PB+PC\lt AB+BC$$ siempre se cumple para cualquier punto $P$ dentro de $\triangle{ABC}$ que satisface $AB\ge BC\ge CA$.

Prueba :

Considera una elipse cuyos focos son $A$ y $C$ que pasa por $P$. Sean $Q$ y $R$ los puntos de intersección entre la elipse y los lados $AB$ y $BC$ respectivamente. Aquí, tenemos $$PA+PC=QA+QC=RA+RC.$$

Entonces, si $P$ está en la elipse, tenemos que $PA+PC$ es constante y que $PB$ es máximo cuando $P$ está en $Q$ o en $R$.

Por lo tanto, tenemos $(1)$ o $(2)$ :

$$PA+PB+PC\lt QA+QB+QC=AB+QC\tag1$$ $$PA+PB+PC\lt RA+RB+RC=BC+RA\tag2$$

Para $(1)$, tenemos que $QC\lt BC$ porque $$\angle{QBC}\le\angle{QAC}\lt\angle{QAC}+\angle{ACQ}=\angle{BQC}.$$

Para $(2)$, tenemos que $RA\lt AB$ porque $$\angle{ABR}\le\angle{ACR}\lt\angle{ACR}+\angle{RAC}=\angle{ARB}.\quad\blacksquare$$