¿Son dos hiperuperficies homeomórficas de la misma variedad suave también difeomórficas?

Question

Sea $M$ una variedad suave (conectada, sin frontera) y $N_1$, $N_2$ dos hipersuperficies suaves (conectadas, sin frontera) de $M$. Supongamos que $N_1$ y $N_2$ son homeomórficas. ¿Pueden $N_1$ y $N_2$ ser no-difeomórficas?

Actualmente estoy trabajando en un problema donde he demostrado que dos hipersuperficies suaves y compactas $N_1$ y $N_2$ de la misma variedad $M$ son ambas homeomórficas (incluso $C^{\alpha}$-homeomórficas para algún $\alpha \in (0,1)$) a la misma variedad $N$. Sin embargo, me gustaría usar algunas propiedades diferenciales tanto de $N_1$ como de $N_2$ y sería conveniente que tuvieran la misma estructura diferencial.

Sé que existen muchos ejemplos de variedades no-difeomórficas que son homeomórficas, como las esferas exóticas. Sin embargo, no sé si se pueden realizar dos esferas diferenciables diferentes como hipersuperficies de la misma variedad suave.

Answer 1

Aquí hay (lo que creo que es) un contraejemplo que funciona para cualquier $N_1,N_2$ aplicable, que además es compacto siempre que $N_1$ y $N_2$ lo sean:

Elige dos variedades homeomórficas, pero no difeomórficas $N_1,N_2$. Sea $M=(N_1\times S^1)\#(N_2\times S^1)$, donde $\#$ denota una suma conectada suave (elegida con orientación arbitraria si es aplicable). Siempre podemos construir esta suma modificando un vecindario suficientemente pequeño de cada factor $N_i\times S^1$ para que $M$ conserve una hipersuperficie embebida difeomorfa a $N_i$.

Answer 2

De hecho, esto puede fallar espectacularmente.

Existe una inmersión $\pi:\mathbb{R}^5\rightarrow \mathbb{R}$ con la propiedad de que para cualquier $t\in \mathbb{R}$, $\pi^{-1}(t)$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^4$, pero para cualquier $t\neq s\in\mathbb{R}$, las imágenes inversas no son difeomorfas.

Aprendí sobre este hecho gracias a la respuesta de Ryan Budney a una pregunta en MO.