Sea $\mathbf{F}=3y \ \mathbf{i} -3xz \ \mathbf{j} + (x^2-y^2) \ \mathbf{k}.$ Calcular el flujo del campo vectorial $\text{curl}(\mathbf{F})$ a través de la semiesfera $x^2+y^2+z^2=4, \ z\geq 0$, usando la parametrización directa de la superficie y el cálculo de $\text{curl}(\mathbf{F}).
Denotemos la semiesfera por $S$. En el libro comienzan notando que
$$\iint_S xy \ dS = \iint_S xz \ dS = \iint_S yz \ dS = 0 \quad (1)\\ \iint_S x^2 \ dS = \iint_S y^2 \ dS = \iint_S z^2 \ dS \quad \quad \quad (2)\\ $$
Luego proceden a calcular el rotor del campo, que es $(2x-2y,-2x,-2z-3)$ y el normal de la superficie, hacia afuera de la superficie es $\mathbf{N}=\frac{1}{2}(x,y,z).$ Así que
$$\text{curl}(\mathbf{F})\cdot \mathbf{N} = \frac{1}{2}(2x^2-4xy-2z^2-3z).$$
Usando las simetrías (1) y (2) obtenemos la integral
$$\frac{1}{2}\iint_S-3z \ dS.$$
Luego proceden a calcular $dS$ argumentando que: $S$ es parte de la superficie definida implícitamente por $F(x,y,z)=4$, donde $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,$ entonces
$$dS=\left|\frac{\nabla F}{F_z}\right|dxdy = \left|\frac{(2x,2y,2z)}{2z}\right| \ dxdy= \left|\frac{(x,y,z)}{z}\right| \ dxdy=\frac{2}{z} \ dxdy \quad (3).$$
Pregunta: ¿Alguien puede explicar intuitivamente, y con otros ejemplos, las propiedades de simetría (1), (2) y por qué se cumple la ecuación (3) y qué significa?
