Trabajo realizado por la máquina y su ventaja mecánica

Question

Voy a comenzar con una pregunta que estaba tratando de resolver de mi libro.
No estoy pidiendo ayuda con respecto a un problema específico, pero intentar resolver este problema me mostró que me falta un entendimiento fundamental sobre el concepto de (¿probablemente?) ventaja mecánica y me gustaría una explicación de qué estoy pasando por alto en mi comprensión de cómo esto se relaciona con resolver este tipo de problema.

Se nos presenta la siguiente máquina:

Algunos parámetros que se nos dicen:
la distancia de la palanca desde el eje del engranaje es $\ell = 0.6m$
el radio del engranaje pequeño es $r_1 = 0.15m$
el radio del engranaje grande es $r_2 = 0.3m$
el radio del cilindro (unido a la cuerda) es $r_3 = 0.1m$
la masa del cubo es $m = 20kg$

Por último, se nos dice que una rotación de la palanca hace que el engranaje pequeño gire exactamente una vez.
Esto nos da la comprensión de que una rotación de la palanca va a rotar el engranaje grande a la mitad y con eso también rotar el cilindro a la mitad también.

Primero se nos dice que encontremos la ventaja mecánica ideal que después de calcular es: $R_i = \frac{2\pi \ell}{2 \pi r_3 \frac{1}{2}} = 12$
Luego se nos dice que encontremos la fuerza necesaria para levantar el cubo asumiendo que no hay fricción que es $F_1 = \frac{F_2}{R_i} = \frac{mg}{12} = 16\frac{1}{3}N$
Después se nos dice cuánta fuerza se necesita para levantar el cubo dado la fricción que es $F_1 = 19.6N$ y se nos pide que encontremos la verdadera ventaja mecánica que es bastante fácil por $R_r = \frac{mg}{F_1} = 10$

Ahora llegamos al punto que me confundió y a mi comprensión sobre la ventaja mecánica como concepto.
Se nos pide encontrar el trabajo necesario para levantar el cubo $20m$.
Ahora, según mi entendimiento de trabajo $W = F \cdot s$ entonces si $F_1 = 19.6N$ y $s = 20m$ y en esta situación lo que hice fue $W = 19.6 \cdot 20 = 392J$, pero el libro lo responde de la siguiente manera $W = 19.6 \cdot 20 \cdot 12$.
Ahora me hizo pensar y ver que están multiplicándolo por la ventaja mecánica para obtener la fuerza de salida de la máquina y luego multiplicándolo por la distancia, lo cual tiene sentido ya que la fuerza de salida de la máquina es la que "hace el trabajo" para $20m$ sobre el cubo y no la fuerza de entrada del usuario que gira la palanca.

$\frac{F_2}{F_1} = R_r\\[4pt]F_2 = R_r \cdot F_1 = 10 \cdot 19.6 = 196N$

Pero lo que aún me confunde es, si se nos dice que la fuerza necesaria para levantar el cubo para calcular la verdadera ventaja mecánica es $19.6N$, entonces ¿por qué el libro responde multiplicando esta fuerza por la ventaja mecánica ideal para obtener la fuerza de salida?

Answer 1

La ventaja mecánica ideal también está relacionada con la longitud total del camino necesario para levantar el cubo.

Por un lado, la ventaja mecánica ideal te dice que en el caso ideal, solo necesitas esa fracción de la fuerza original para levantar algo. Por otro lado, te dice que debes aplicar esa fuerza menor en un camino mucho más largo. Por ejemplo, tienes que hacer el mismo trabajo en el cubo con y sin la máquina. ($mgh=F_1 s$ donde $s$ es la longitud total del camino de la palanca para levantar el cubo. $s=12h$)

(En comparación con la ideal) la ventaja mecánica real te dice que debido a la fricción en la máquina, debes aplicar una fuerza algo mayor. (Por ejemplo, $mg/10$ en lugar de $mg/12$.) Pero aún así tienes que hacer el mismo camino (cuya longitud es $s$) para levantar el cubo como en el caso ideal. (Tienes que hacer más trabajo debido a la fricción en la máquina.)

Answer 2

Al aplicar las leyes físicas, es importante tener en cuenta cuándo son aplicables. En este caso, $W = F\cdot s$ sólo es cierto si la fuerza $F$ se aplica sobre alguna distancia $s$. La cosa a la que estás aplicando la fuerza $F$ es la palanca, así que para obtener el trabajo total, necesitas multiplicar esa fuerza por la distancia que recorrió la palanca, no la distancia del balde.

Si procedes a calcular esta distancia, notarás que el valor ideal de la ventaja mecánica de 12 aparece de nuevo. Es decir, para levantar el balde 1m, la palanca necesita recorrer 12m. Esto no es coincidencia, ya que en el caso sin fricción el trabajo realizado en la palanca y el trabajo realizado en el balde son necesariamente iguales, entonces $$W_\text{balde} = W_\text{palanca} \\ F_\text{balde} s_\text{balde} = F_\text{palanca} s_\text{palanca}\\ F_\text{balde} = \underbrace{\frac{s_\text{palanca}}{s_\text{balde}}}_{R_i}F_\text{palanca}$$

Pero con fricción $F_\text{palanca} > R_i F_\text{balde}$, así que esta relación ya no se cumple. Sin embargo, todavía podemos usar $R_i$ para simplificar la expresión $$W = F_\text{palanca} s_\text{palanca} = F_\text{palanca} R_i s_\text{balde}$$