No estoy seguro de cómo calcular $dY_{t}$

Question

Dado

\begin{align*} dX_{t} &= \mu dt + \sigma X_{t}dB_{t}\\ \log(X_{t}) &={-\frac{1}{2}\int_{0}^{t} \sigma^{2}ds}+{\int_{0}^{t} \sigma dB_{s}} \end{align*}

Estoy tratando de establecer $\log(Y_{t}) := \frac{1}{2}\sigma^{2}t - \sigma B_{t}$ y mostrar que

si $Z_{t} = X_{t}Y_{t}$, entonces $dZ_{t} = \mu Y_{t} dt$.

Sin embargo, no tengo mucha confianza en cómo calcular $dY_{t}$.

Definí $f(x,y) = xy$ y escribí

$$df = \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}dxdy = xdy + ydx + dxdy$$

así que bajo Ito,

$$dZ_{t} = X_{t}dY_{t} + Y_{t}dX_{t} + d{X_{t}}d{Y_{t}}.$$

El término $Y_{t}dX_{t}$ es directo:

$$Y_{t}dX_{t} = \mu Y_{t}dt + \sigma X_{t}Y_{t}dB_{t} = \mu Y_{t}dt + \sigma dB_{t}.$$

Sin embargo, no tengo idea de cómo abordar el cálculo de $dY_{t}$. He intentado escribir lo siguiente que no creo que sea correcto:

$$d\log(Y_{t}) = \frac{dY_{t}}{Y_{t}} = \frac{1}{2}\sigma^{2}dt -\sigma dB_{t}$$

por lo que

$$dY_{t} = \frac{1}{2}\sigma^{2}Y_{t}dt - \sigma Y_{t}dB_{t}.$$

Luego, sustituyendo todo esto:

$$X_{t}dY_{t} = \frac{\sigma^{2}}{2}X_{t}Y_{t}dt - \sigma X_{t}Y_{T}dB_{t} = \frac{\sigma^{2}}{2}dt - \sigma dB_{t}$$

y finalmente

$$dX_{t}dY_{t} = \left(\mu dt + \sigma X_{t}dB_{t}\right) \left(\frac{1}{2}\sigma^{2}Y_{t}dt - \sigma Y_{t}dB_{t}\right) = -\sigma^{2}X_{t}Y_{T}\langle B_{t},B_{t}\rangle = -\sigma^{2}dt$$

lo cual da

$$dZ_{t} = \frac{\sigma^{2}}{2}dt - \sigma dB_{t} + \mu Y_{t}dt + \sigma dB_{t} -\sigma^{2}dt = -\frac{\sigma^{2}}{2} + \mu Y_{t}dt.$$

Así que probablemente me equivoqué en un factor de $2$ en algún lugar y sospecho que está en el cálculo de $dY_{t}$, pero no estoy seguro. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Me parece que estás usando varias veces $X_t Y_t = 1$ (por ejemplo, al calcular $Y_t \, dX_t$ estás afirmando que $\sigma X_t Y_t \, dB_t = \sigma \, dB_t$). Esto es incorrecto; por favor revisa tus cálculos.

Respecto al factor $1/2$: No calculaste $dY_t$ correctamente. Nota que la fórmula de Itô establece que

$$df(Y_t) = f'(Y_t) \, dY_t + \frac{1}{2} f''(Y_t) \, (dY_t)^2$$

y por lo tanto

$$d\log(Y_t) \neq \frac{dY_t}{Y_t}.$$

Si aplicas la fórmula de Itô correctamente, encontrarás que

$$d\log(Y_t) = \frac{dY_t}{Y_t} - \frac{1}{2} \frac{(dY_t)^2}{Y_t^2}. \tag{1}$$

Si asumimos por el momento que $$dY_t = f(t) Y_t \, dt + g(t) Y_t \, dB_t \tag{2}$$ para mapeos adecuados $f,g$, entonces $(dY_t)^2 = Y_t^2 g(t)^2 \, dt$, y $(1)$ da

$$\frac{1}{2} \sigma^2 dt - \sigma dB_t = d\log(Y_t) = \left( f(t)-\frac{1}{2} g(t)^2 \right) \, dt + g(t) \, dB_t.$$

Así,

$$g(t) = - \sigma \quad \text{y} \quad f(t) = \frac{1}{2} \sigma^2 + \frac{1}{2} g(t)^2 = \sigma^2$$

implicando, por $(2)$,

$$dY_t = \sigma^2 Y_t \, dt - \sigma Y_t \, dB_t.$$

Enfoque alternativo para calcular $dY_t$: Por la definición misma de $\log(Y_t)$, tenemos

$$Y_t = \exp(\log(Y_t)) = \exp \left( \frac{1}{2} \sigma^2 t - \sigma B_t \right).$$

Aplicando la fórmula de Itô para $g(t,x) := \exp(\sigma^2 t/2- \sigma x)$, encontramos

$$dY_t = dg(t,B_t) = - \sigma g(t,B_t) \, dB_t + \left( \frac{\sigma^2}{2} g(t,B_t) + \frac{\sigma^2}{2} g(t,B_t) \right) \, dt = - \sigma Y_t \, dB_t + \sigma^2 Y_t \, dt.$$