Evidencia especial de que la proporción áurea es irracional

Question

¿Cómo puedo demostrar que el número áureo es irracional solo usando el hecho de que si un número $n$ no es un número cuadrado, entonces su raíz $\sqrt n$ debe ser irracional?

Usando este hecho, solo tendría que demostrar que el cuadrado del número áureo no es un número cuadrado. ¿Pero cómo se puede hacer esto? Solo conozco la típica demostración por contradicción para la irracionalidad.

¿Alguien puede ayudar? :) ¡Gracias!

Answer 1

El siguiente intenta demostrar, no que $\phi^2$ no es un número cuadrado, sino que $\phi$ es irracional, sin depender de la irracionalidad de $\sqrt 5$.

Geométricamente, Euclides Elementos XIII, 5 demuestra que si $AB$, en la figura de abajo, es cortada en una razón extremadamente media en $C$, y $AB$ es extendida de manera que $AD=AC$ sea el segmento mayor, entonces $DB$ es cortada en una razón extremadamente media en $A$ y $AB$ es el segmento mayor. Haciendo esta construcción en reversa, en la siguiente figura, obtenemos una secuencia de líneas cada vez más pequeñas cortadas en una razón extremadamente media. Es decir, marcando $CD=CB$, el segmento menor, obtenemos que $AC$ es cortada en una razón extremadamente media en $D$, con $AD$ siendo ahora el segmento menor. Nuevamente, marcando $DE=DA$ obtenemos que $DC$ es cortada en una razón extremadamente media en $E$, y así sucesivamente.

Dado que$$BCy por lo tanto también$$ADy$$CEentonces $BC$ no divide a $CA$, $AD$ no divide a $DC$, $CE$ no divide a $ED$, y así sucesivamente indefinidamente.

Y dado que cada nuevo segmento mayor es más de la mitad de la línea que está siendo cortada, entonces por Euclides X, 2 los segmentos originales $AC$, $CB$ son inconmensurables: ”Si cuando el menos de dos magnitudes desiguales es continuamente sustraído sucesivamente del mayor, aquello que queda nunca mide al anterior, las magnitudes serán inconmensurables.”

Dado que el segmento menor sustraído continuamente del mayor nunca deja un resto que lo divida, entonces las dos magnitudes originales son inconmensurables, es decir, $\frac{AC}{CB}$ no es una razón de dos enteros, y $\phi$ es irracional.