Calcular $I = \int_{0}^{\infty} \frac{8}{\gamma^{4}} x^{3} e^{-\frac{2}{\gamma^{2}}x^{2}} e^{jxt} dx$

Question

Quiero evaluar la siguiente integral:

$$I = \int_{0}^{\infty} \frac{8}{\gamma^{4}} x^{3} e^{-\frac{2}{\gamma^{2}}x^{2}} e^{jxt} dx $$

Donde $\gamma \in \mathbb{R}$ y $j = \sqrt{-1}$.

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Lo primero que hago es dejar:

$$ u = \frac{2}{\gamma} x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{2}{\gamma} dx$$ $$ x = \frac{\gamma}{2} u \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{\gamma}{2} du$$

Después de sustituir y cancelar, obtenemos:

$$ I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} u^{3} e^{-\frac{1}{2} u^{2} + j \frac{1}{2} \gamma tu} du$$

Completamos el cuadrado, dando:

$$ I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} u^{3} e^{-\frac{1}{2} (u - j\frac{1}{2} \gamma t)^{2} - \frac{1}{8} \gamma^{2} t^{2}} du$$ $$ I = \frac{1}{2} e^{-\frac{1}{8} \gamma^{2} t^{2}} \int_{0}^{\infty} u^{3} e^{-\frac{1}{2} (u - j\frac{1}{2} \gamma t)^{2}} du$$

En este punto no estoy seguro de qué hacer. Mi enfoque es el siguiente:

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Queremos resolver:

$$ I = \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{8} \gamma^{2} t^{2}} \underset{R \rightarrow \infty}{lim} \int_{0}^{R} u^{3} e^{-\frac{1}{2} (u - j\frac{1}{2} \gamma t)^{2}} du$$

Dejamos:

$$ z = u - j \frac{1}{2} \gamma t \quad \Rightarrow \quad dy = du$$ $$ u = y + j\frac{1}{2} \gamma t \quad \Rightarrow \quad du = dy$$ $$ b = R - j\frac{1}{2} \gamma t \quad a = -j \frac{1}{2} \gamma t $$

Por lo tanto:

$$ I = \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{8} \gamma^{2} t^{2}} \underset{R \rightarrow \infty}{lim} \int_{ -j \frac{1}{2} \gamma t}^{R - j \frac{1}{2} \gamma t} (y- j \frac{1}{2} \gamma t)^{3} e^{-\frac{1}{2} y^{2}} dy$$

Crearemos un contorno $\Gamma = C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4} = [-j \frac{1}{2} \gamma t, R-j \frac{1}{2} \gamma t] + [R-j \frac{1}{2} \gamma t, R] + [R, 0] + [0, -j \frac{1}{2} \gamma t]$

Dado que $ \underset{y \rightarrow \infty}{lim}\frac{(y - j \frac{1}{2} \gamma t)^{3}}{e^{\frac{1}{2}y^{2}}} = 0 $, la integral sobre el contorno vertical $C_{3}$ es cero.

Sin embargo, todavía necesito evaluar las siguientes integrales:

$$ I_{1} = \underset{R \rightarrow \infty}{lim} \int_{0}^{R} (y- j \frac{1}{2} \gamma t)^{3} e^{-\frac{1}{2} y^{2}} dy $$ $$ I_{2} = \int_{-j \frac{1}{2} \gamma t}^{0} (y- j \frac{1}{2} \gamma t)^{3} e^{-\frac{1}{2} y^{2}} dy $$

Estoy atascado en este punto.

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¿Es este el enfoque correcto? ¿Voy por el camino correcto? ¿Cómo puedo resolver esas dos integrales? ¿Cómo puedo resolver mi problema original?

¡Gracias!

Answer 1

Pista: encuentra $$\int_0^\infty e^{-2 x^2/\gamma^2} e^{jxt}\; dx $$ y diferencia $3$ veces con respecto a $t$.

Answer 2

Bueno, en general tenemos:

$$\mathcal{I}_\text{n}:=\int_0^{\infty}x^\text{n}\cdot\exp\left(\alpha \cdot x^{\text{n}-1}\right)\cdot\exp\left(\beta\cdot x\right)\space\text{d}x\tag1$$

Usando la propiedad de 'evaluar integrales sobre el eje real positivo' de la transformada de Laplace, podemos escribir:

$$\mathcal{I}_\text{n}=\int_0^\infty\mathcal{L}_x\left[\exp\left(\alpha \cdot x^{\text{n}-1}\right)\cdot\exp\left(\beta\cdot x\right)\right]_{\left(\text{s}\right)}\cdot\mathcal{L}_x^{-1}\left[x^\text{n}\right]_{\left(\text{s}\right)}\space\text{ds}\tag2$$

Usando las propiedades de la transformada de Laplace:

• $$\mathcal{L}_x\left[\exp\left(\alpha \cdot x^{\text{n}-1}\right)\cdot\exp\left(\beta\cdot x\right)\right]_{\left(\text{s}\right)}=\mathcal{L}_x\left[\exp\left(\alpha \cdot x^{\text{n}-1}\right)\right]_{\left(\text{s}-\beta\right)}\tag3$$
• $$\mathcal{L}_x\left[\exp\left(\alpha \cdot x^{\text{n}-1}\right)\right]_{\left(\text{s}-\beta\right)}=\sum_{\text{k}=0}^\infty\frac{\alpha^\text{k}}{\text{k}!}\cdot\mathcal{L}_x\left[x^{\text{k}\left(\text{n}-1\right)}\right]_{\left(\text{s}-\beta\right)}=\sum_{\text{k}=0}^\infty\frac{\alpha^\text{k}}{\text{k}!}\cdot\frac{\Gamma\left(1+\text{k}\left(\text{n}-1\right)\right)}{\left(\text{s}-\beta\right)^{1+\text{k}\left(\text{n}-1\right)}}\tag4$$
• $$\mathcal{L}_x^{-1}\left[x^\text{n}\right]_{\left(\text{s}\right)}=\frac{1}{\Gamma\left(-\text{n}\right)}\cdot\frac{1}{\text{s}^{1+\text{n}}}\tag5$$

Entonces, obtenemos:

$$\mathcal{I}_\text{n}=\int_0^\infty\left\{\sum_{\text{k}=0}^\infty\frac{\alpha^\text{k}}{\text{k}!}\cdot\frac{\Gamma\left(1+\text{k}\left(\text{n}-1\right)\right)}{\left(\text{s}-\beta\right)^{1+\text{k}\left(\text{n}-1\right)}}\right\}\cdot\frac{1}{\Gamma\left(-\text{n}\right)}\cdot\frac{1}{\text{s}^{1+\text{n}}}\space\text{ds}=$$ $$\sum_{\text{k}=0}^\infty\frac{\alpha^\text{k}}{\text{k}!}\cdot\frac{\Gamma\left(1+\text{k}\left(\text{n}-1\right)\right)}{\Gamma\left(-\text{n}\right)}\cdot\int_0^\infty\frac{\text{s}^{-1-\text{n}}}{\left(\text{s}-\beta\right)^{1+\text{k}\left(\text{n}-1\right)}}\space\text{ds}\tag6$$

Utilizando la propiedad:

$$\int_0^\infty\frac{x^\text{m}}{\left(x-t\right)^\text{p}}\space\text{d}x=\frac{1}{\left(-t\right)^{\text{p}-1-\text{m}}}\cdot\frac{\Gamma\left(1+\text{m}\right)\cdot\Gamma\left(\text{p}-\text{m}-1\right)}{\Gamma\left(\text{p}\right)}\tag7$$

Obtenemos:

$$\mathcal{I}_\text{n}=\sum_{\text{k}=0}^\infty\frac{\alpha^\text{k}}{\text{k}!}\cdot\left(-1\right)^{\text{k}-\text{n}\left(1+\text{k}\right)-1}\cdot\beta^{\text{k}-\text{n}\left(1+\text{k}\right)-1}\cdot\Gamma\left(1+\text{k}\left(\text{n}-1\right)+\text{n}\right)\tag8$$