Vamos a considerar la declaración correspondiente para el círculo unitario en $\mathbb{R}^2$. Es decir, si el conjunto $C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}$ se divide en dos conjuntos $A$ y $B$, entonces al menos uno de estos dos conjuntos tiene diámetro $2$. Demostrar esta afirmación demostrará el resultado en el problema dado (para $n\ge 2$) ya que cada bola euclidiana cerrada contiene una copia del círculo unitario.
Supongamos que nuestra afirmación revisada es falsa, y podemos dividir $C$ en $A, B$, cada uno con un diámetro menor a $2$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $A\ne\emptyset$. Sea $P\in A$. Entonces el punto diametralmente opuesto, $Q$, está en $B.
Afirmación: Existe un vecindario abierto $N$ de $P$ en $C$ tal que $N\subseteq A$. Si la afirmación fuera falsa, entonces podríamos encontrar una secuencia de puntos en $B$ que convergen a $A$. Pero luego, al observar la distancia de los puntos en esta secuencia a $Q$, obtendríamos que $B$ tiene diámetro $2$, lo que sería una contradicción. Así que tal vecindario abierto de $P$ existe en $A$.
De la afirmación, concluimos que $A$ es abierto en $C$. Pero de manera similar, $B$ es abierto en $C. Dado que $C$ es conexo, uno de los conjuntos $A$ y $B$ debe estar vacío. Pero entonces, ciertamente el diámetro del que no esté vacío sería $2$.
