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Convergencia fundamentos de topología - Dolecki y Mynard
y estoy algo sorprendido por su proposición V.1.1 que establece que
Una convergencia $\xi$ en un conjunto $X$ es una pretopología si y solo si $$ x\in \lim_\xi F \implies \mathcal{V}_\xi(x) \leq F, $$ donde $\mathcal{V}_\xi(x)$ es el filtro de vecindad en $x\in X$.
¿Seguramente la implicación debería ser al revés? Habría pensado que esta implicación es verdadera para cualquier convergencia, no solo para las pretopológicas. Desafortunadamente no dan una prueba. Verifiqué el listado de erratas en https://www.worldscientific.com/doi/suppl/10.1142/9012/suppl_file/9012_errata.pdf, pero no se menciona.
Algunas de las definiciones relevantes:
Sea $X$ un conjunto. Una convergencia en $X$ es una relación entre filtros en $X$ y elementos de $X$ (escribimos $x\in \lim_\xi F$ si $\xi$ relaciona el filtro $F$ con $x$, en otras palabras $\lim_\xi$ es la función de imagen de la relación) tal que
- $\lim_\xi$ es orden-preservante: $F \leq G \implies \lim_\xi F \subseteq \lim_\xi G;$
- $\lim_\xi$ es centrada: para todo $x\in X: x \in \lim_\xi \uparrow\{x\}$, donde $\uparrow\{x\}$ es el filtro principal generado por $\{x\}$.
El filtro de vecindad de una convergencia $\xi$ en $x$ está definido como $$ \mathcal{V}_\xi(x) := \bigwedge_{x\in \lim_\xi F} F $$
Una convergencia es una pretopología si en cada punto $x$ existe un filtro $G$ que converge a $x$ tal que $$ F \in {\lim_\xi}^{-1}(x) \implies G \leq F. $$
¡Muchas gracias por cualquier indicación!
