¿Existe una prueba del teorema de Bézout a través de la teoría de residuos?

Question

Definamos los números de intersección de la siguiente manera.

Considere una colección $f_1,\dots, f_n$ de funciones holomorfas en algún vecindario de cero en $\mathbb C^N$ que cortan divisores $D_1$, todos los cuales se anulan en $0$. Defina $$\omega(f_1,\dots, f_n)=\frac{df_1}{f_1}\wedge\dots \wedge \frac{df_n}{f_n}.$$ Decimos que el número de intersección local está definido por $$(D_1,\dots, D_n)=\operatorname{Res}_{\{0\}}\omega(f_1,\dots, f_n).$$

Claramente esta es una definición local y las modificaciones obvias dan una definición de número de intersección para hiper-superficies que se intersectan en puntos distintos de cero.

Estoy buscando una demostración compleja-analítica que demuestre que esta definición de intersección satisface la versión general del teorema de Bézout para $n$ hiper-superficies en $\mathbb P^n$ (en lugar de una que muestre que esto es equivalente a la definición algebraica en términos de anillos locales y luego use una prueba algebraica estándar). Seguramente esto está escrito en alguna parte. ¿Dónde puedo encontrarlo?

Answer 1

(Publicando esto con la esperanza de sacar esta pregunta de la categoría de Sin respuesta.)

Esta pregunta parece estar respondida en los comentarios, por el autor original:

Consideremos por ejemplo $f_1=x,f_2=y$ en $\mathbb P^2$. Tenemos el residuo correcto en $0$, y luego creo que recogemos la parte adicional cuando cambiamos de gráficos y consideramos la recta en el infinito, así que todo encaja. La suma es cero, pero uno de los términos es exactamente lo que queremos, así que podemos simplemente reorganizar y obtener Bezout.