Para un espacio métrico compacto $T: X\to X$ posee un punto fijo único

Question

Dado: $(X,d)$ es un espacio métrico compacto $T:X\to X$ tal que $d(T(x),T(y))

Demuestra que T tiene un punto fijo único.

Intento: Creo que puedo demostrar la Unicidad:

Considera $T(x)=x$ y $T(y)=y,\ x\neq y$

Entonces, $d(x,y)=d(T(x),T(y))

Sin embargo, tengo problemas ejecutando la demostración de que el punto fijo existe.

Answer 1

Pista: sea $X_0 = X$ y $X_{i+1} = T(X_i)$. ¿Qué se puede decir sobre $\bigcap_i X_i$?

Para cualquier subconjunto $Y$ de $X$, define el diámetro $D(Y)$ de $Y$ como $\sup\{d(x, y) \mathrel{|} x, y \in Y\}$. Entonces, si $Y$ tiene más de un punto, $D(Y) > 0$ y, si $Y$ también es cerrado (y por lo tanto compacto), existen $x, y \in Y$ tal que $d(x, y) = D(Y)$ (porque $d : Y \times Y \to \mathbb{R}$ es una función continua en un espacio compacto y por lo tanto alcanza su valor máximo). Tomando $Y = T(Z)$ para $Z$ un subconjunto cerrado de $X$, esto nos da puntos $x, y \in Z$ tales que $D(T(Z)) = d(T(x), T(y)) < d(x, y) \le D(Z)$. Ahora, con $F = \bigcap_i X_i$, tenemos que $F$ no está vacío y es cerrado (como la intersección de una colección de subconjuntos cerrados no vacíos del conjunto compacto $X) y satisface $T(F) = F$. Por los comentarios anteriores, $D(T(F)) = D(F) < D(F)$, lo que lleva a una contradicción, a menos que $F$ contenga exactamente un punto, que es el punto fijo deseado de $T$.

Answer 2

Esto puede ser largo pero estoy incluyendo todos los detalles concebibles. (1) Para evitar el caso trivial, asumimos $X \ne \phi$...............(2) Por el método estándar $ \epsilon , \delta$ vemos que $T$ es continua.................. (3) Para cualquier conjunto cerrado no vacío $S \subset X$, sea $D(S)= \sup \{d(x,y) : x,y \in S\}$. Tenemos $ D(S)\leq D(X)<\infty$ porque cualquier métrica en un espacio compacto es una métrica acotada......................(4) Para $S\subset X$ cerrado y no vacío, si $S$ tiene al menos $2$ elementos entonces $D(T(S))

Answer 3

Si deseas mantenerlo simple, utilizando solo herramientas elementales en el análisis, simplemente puedes definir la secuencia $x_{n+1}=T(x_n)$, con $x_0$ arbitrario. Primero afirma que la secuencia está acotada (¿por qué?). Luego demuestra que la secuencia es de Cauchy (necesitarás el paso anterior aquí). Luego argumenta que la secuencia converge ya que el espacio también es completo (¿por qué?). Finalmente, muestra que el límite es un punto fijo para $T$ (esto es una consecuencia inmediata de que $\{x_n\}$ es de Cauchy).

En cuanto a la unicidad, tu demostración es buena.