Para $A, B, C, D \in \mathbb{F}^{n \times n}$, demuestra que $\det{\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}} = \det{A}\det{D} - \det{B}\det{C}$

Question

Encontré este ejercicio en el guion de álgebra lineal de mi universidad.

Para $A, B, C, D \in \mathbb{F}^{n \times n}$, muestra que

$$\det{\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}} = \det{A}\det{D} - \det{B}\det{C}$$

Aunque sé que esto sería cierto para $C = 0$, en ese caso podemos llevar $A$ y $D$ a forma escalonada por filas. ¿Pero qué pasa en el caso donde $C \neq 0$?

Como ejemplo intenté con la matriz $\begin{pmatrix}2 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, la cual debería tener un determinante de $-6$ si el lema fuera cierto. Pero el determinante de la matriz es $-8$.

¿Puedo concluir que el ejercicio tiene un error tipográfico?

Answer 1

Aquí hay una ruta que podrías tomar.

Has afirmado correctamente que si tenemos $$\det\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}=\det(A)\det(D)$$.

De manera similar, uno puede escribir trivialmente $$\det\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}=\det(A)\det(D)$$

Ahora observa que $$\begin{pmatrix}I&0\\-CA^{-1}&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&B\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$$

Por lo tanto, se puede escribir que $$\det(I)\det(I)\det\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)$$

Answer 2

El resultado correcto es $$\det\begin{bmatrix} A & B \\ C & D\end{bmatrix}= \det(AD-BC)$$

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_en_bloque