Una forma diferente de $GL(V,B)$.

Question

Sea $B:V\times V \to F$ una forma bi-lineal. Supongamos que $B$ está dada por la matriz $\underline{B}=(B_{ij})$.

¿Cómo puedo mostrar que: $$GL(V,B):=\{ g \in GL_n(F): B(gu,gv)=B(u,v) \ \ \forall u,v \in V\}$$ cumple con lo siguiente: $$GL(V,B)=\{ g\in GL_n(F): g^t\underline{B}g=\underline{B}\}$$ ?

Sin pistas.

Answer 1

Aquí hay una pista:

Si las representaciones de coordenadas de $u,v$ y $B$ son respectivamente $\underline{u},\underline{v},\underline{B}$, entonces $B(u,v)=\underline{u}^T\underline{B}\,\underline{v}$. Esto significa que $B(gu,gv)=(g\underline{u})^T\underline{B} g\underline{v}=\underline{u}^Tg^T\underline{B}\, g\underline{v}$. ¿Qué nos dice esto acerca de las matrices que preservan $B$?