Demuestra que si $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ existe y es finito y $\lim_{x \to +\infty} f'(x)=b$ entonces $b=0$

Question

Demuestra que si $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ existe y es finito y $\lim_{x \to +\infty} f'(x)=b$ entonces $b=0$

Creo que esto es cierto pero no sé cómo demostrarlo?

Answer 1

Sigue un truco elegante de L'Hôpital: $\ $ si $\rm\ f + f\:'\!\to L\ $ cuando $\rm\ x\to\infty\ $ entonces $\rm\ f\to L,\ f\:'\!\to 0,\ $ ya que

$$\rm \lim_{x\to\infty}\ f(x)\ =\ \lim_{x\to\infty}\frac{e^x\ f(x)}{e^x}\ =\ \lim_{x\to\infty}\frac{e^x\ (f(x)+f'(x))}{e^x}\ =\ \lim_{x\to\infty}\ (f(x)+f'(x)) $$

Este truco de la regla de L'Hospital alcanzó cierta notoriedad debido a que el problema apareció en el clásico libro de cálculo de Hardy A Course of Pure Mathematics, pero con una solución menos elegante. Por ejemplo, ver Landau; Jones: A Hardy Old Problem, Math. Magazine 56 (1983) 230-232.

Answer 2

Utiliza el teorema del valor medio.

Intenta demostrarlo con esta pista: Para cualquier $n$ tenemos $f(n+1)-f(n) = f'(\xi_n)$ para algún $x \in (n,n+1)$.

Advertencia:

Tomando límites obtenemos $\lim_n (f(n+1)-f(n)) = 0 = \lim_n f'(\xi_n) = b$. Por lo tanto $b=0$.