¿Son las flechas de la teoría de categorías (en general) "intensionales"?

Question

Pensando en monoides como categorías de un solo objeto, me puse a pensar en qué distingue a las flechas de una categoría de un solo objeto, especialmente dado que el objeto puede no tener estructura interna (por ejemplo, puede que no sea un conjunto con elementos).

Por ejemplo, el monoid trivial que consiste solo en el elemento identidad bajo alguna operación binaria sería una categoría $\mathbf{M_0}$ con objeto $M$ y la flecha identidad $\mathit{id}_M : M \rightarrow M$ como su única flecha. Pero dado que los números naturales bajo la suma forman un monoid conmutativo $(\mathbb{N}, +)$ debería ser posible interpretar ese monoid como una categoría de un solo objeto $\mathbf{M}_\mathbb{N}$ con objeto $M$. Supongamos que el objeto es el mismo en ambas categorías, de manera que pasemos de $\mathbf{M_0}$ a $\mathbf{M}_\mathbb{N}$ simplemente agregando una cantidad infinita numerable de flechas $1, 2, \dotsc : M \rightarrow M$, identificando $0$ con la flecha identidad, requiriendo que la composición sea conmutativa, y asegurando cosas adicionales como que $1 \circ 1 = 2$ para que la composición se comporte como una suma.

Pero suponiendo que $M$ no tiene "elementos" u otra estructura interna similar, ¿qué diferencia a la cantidad infinita numerable de flechas que conforman $\mathbf{M}_\mathbb{N}$? He leído, como en los comentarios de la pregunta enlazada, que las flechas pueden pensarse como triples ordenados, de modo que $1$ sería $(1, M, M)$ y $2$ sería $(2, M, M)$. ¿Juega el "nombre" (por ejemplo, "1") de una flecha un papel distintivo en diferenciarla de otras flechas con el mismo origen y destino (un solo objeto, en este caso)?

Answer 1

Es la composición la que juega un papel, no los 'nombres'.

Sin pensar en tu monoide como una categoría de un solo objeto, podemos plantear exactamente la misma pregunta:

Tenemos un conjunto $\Bbb N$ de infinitamente muchos elementos contables, y una adición (y un elemento identidad aditivo distinguido). ¿Qué diferencia a sus elementos?

Podemos observar el $0$ que actúa como el elemento identidad aditivo.
Además tenemos el $1$ que no es el resultado de ninguna suma $a+b$ para $a,b$ no nulos.
Luego tenemos el $2=1+1$, y así sucesivamente.

Estos describen estos elementos, y eres libre de reemplazar 'adición' por 'composición' en todas partes en lo anterior.

Answer 2

Cuando se define una categoría, se puede tomar cualquier conjunto como el conjunto de morfismos entre dos objetos (si luego se define la composición adecuadamente). Así que si tienes tu monoide favorito $(A,\cdot_A)$, simplemente puedes definir una categoría que tenga un objeto $M$ y cuyo conjunto de morfismos de $M$ a $M$ sea el conjunto $A$, con la composición definida por la operación $\cdot_A$. Por lo tanto, si quieres, las flechas se distinguen por sus "nombres", pero esa no es realmente la forma correcta de pensar en ello. Más bien, las flechas son nada más que sus nombres: las flechas son literalmente solo elementos del conjunto $A$ (que podría ser cualquier conjunto, siempre y cuando tengas una operación binaria apropiada en él).

Answer 3

Para variedad, vale la pena señalar que cualquier categoría puede recibir una noción de igualdad con sabor extensional:

Si $f$ y $g$ son dos flechas $X \to Y$, entonces lo siguiente son equivalentes:

• $f=g
• $fx = gx$ para cada flecha $x$ con codominio $X
• $yf = yg$ para cada flecha $y$ con dominio $Y

Esta es una de las muchas formas en que la noción de "flecha con codominio $X$ actúa como un buen sustituto de la noción de "elemento de $X$". Al pensar de esta manera, llamamos a la flecha un "elemento generalizado".

Por lo tanto, a pesar de que el teorema es bastante trivial, sigue siendo un punto de vista bastante útil.

Como ejemplo, los elementos generalizados del objeto $M$ en $\mathbf{M}_{\mathbb{N}}$ son precisamente los números naturales. (porque $\hom(M,M)$ es, por definición, los números naturales)

Además, muchas categorías permiten una variación útil (y menos trivial):

Un conjunto de objetos $\mathcal{G}$ es un conjunto generador para la categoría si y solo si, para cada par $f,g$ de flechas $X \to Y$, lo siguiente son equivalentes:

• $f = g
• $fx = gx$ para cada flecha $x:G \to X$, con $G \in \mathcal{G}

Hay muchas categorías donde la noción usual de elementos coincide con la noción de un elemento generalizado con dominio en un conjunto generador. Por ejemplo, en la categoría de grupos, tomemos $\mathcal{G} = \{ \mathbb{Z} \}$. Las nociones de "un elemento del grupo $G$" y "una flecha $\mathbb{Z} \to G$" son básicamente las mismas.

Otro ejemplo es $\mathbf{Cat}$. Tomemos $\mathcal{G}$ para que consista en las dos categorías $\bullet$ y $\bullet \to \bullet$. Los dos tipos de elementos generalizados son precisamente los objetos y las flechas.