¿Cómo demuestro que $x$, $y$ y $z$ están en la misma línea si están relacionados con el mismo parámetro?

Question

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¿Cómo funciona exactamente eso? Agradecería una prueba, pero si no es posible, al menos el nombre del teorema, para poder buscarlo por mi cuenta.

Mi trabajo/pensamientos hasta ahora:

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Si comenzamos con un sistema como el siguiente:

$$y+az=b$$ $$x+fz=g$$

Supoongo que podría resolver ambos lados para z y obtener algo como:

$$z=\frac{b-y}{a}$$ $$z=\frac{g-x}{f}$$

Lo cual supongo implica que: $$\frac{b-y}{a}=\frac{g-x}{f} $$ $$y=\frac{a(g-x)}{f}+b $$

Lo cual es realmente solo otra forma de escribir $y=kx+m$, por lo que para cada valor de z, la relación entre x e y puede escribirse como una línea. Dado que hay un número infinito de z, eso significa que podemos visualizar todas las posibles líneas como un plano infinito.

Si pudiéramos definir un vector z, podríamos restringir las soluciones posibles a los valores en el plano que satisfacen tanto $y=\frac{a(g-x)}{f}+b $ como la ecuación para z. Resulta que tenemos dos expresiones para z, $z=\frac{b-y}{a}$ y $z=\frac{g-x}{f}$.

No sé, ¿a dónde voy desde aquí?

Answer 1

Lo siento mucho, pero tu pregunta es imprecisa, especialmente porque no veo ninguna mención de ningún parámetro en el título o en el cuerpo. Por lo tanto, mi intento de respuesta puede que no te satisfaga en absoluto. No obstante:

Me parece que $x$, $y$ y $z$ son las coordenadas de puntos en el espacio $3$-dimensional $\Bbb R^3$. Y que $a$, $b$, $f$ y $g$ son parámetros que definen el problema. Tú claramente estás de acuerdo con eso.

Además, has resuelto correctamente $z$ en dos casos, $z=-\frac1ay+\frac ba$, $z=-\frac1fx+\frac gf\,$. Estos dicen, por separado, que una elección de $x$ y $y$ te da un valor de $z$. Pero no necesariamente el mismo valor de $z$ en los dos casos. Por ejemplo, digamos que $x=1$ y $y=2$. Entonces, en el primer caso, obtienes el punto $(1,2,-\frac2a+\frac ba$) y en el segundo caso $(1,2,\frac1f+\frac gf)$. Como ves, los valores de $z$ no tienen por qué ser iguales.

Aquí es donde te equivocaste, cuando dijiste: "Lo cual supongo implica que..."

Debes pensar en la situación geométricamente, donde la primera ecuación define un plano particular en el espacio (dependiendo de los valores de $a$ y $b$), y la segunda ecuación define algún otro plano en el espacio. (En este caso, no serán planos paralelos, porque en los dos casos, los vectores perpendiculares son $(0,1,a)$ y $(1,0,f)$, definitivamente no paralelos). Dado que los planos no son paralelos, tienen una línea en común. (Si tu intuición geométrica todavía está en pañales, piensa en la pared este de tu habitación y la pared sur, que se intersectan en una línea vertical, es decir la costura SE entre las dos paredes.)

Si deseas una representación paramétrica de esta línea, el trabajo está hecho para ti. Tienes las tres fórmulas paramétricas, en términos de un parámetro $t$:

\begin{align} x&=g-ft\\ y&=b-at\\ z&=t \end{align}