Área de diferencia de conjunto

Question

Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^2$, con $X\subsetneq Y$.

¿Es posible que $\text{Área}(Y\setminus X)=0$?

¿Es posible que $\text{Área}(Y\setminus Cierre[X])=0$?

Answer 1

Pista: ¿Puedes pensar en un conjunto cerrado no vacío de área cero?

Answer 2

$Y = \mathbb{R}^2$

$X = \mathbb{R}^2 - \{0\}$

Translated to Spanish:

$Y = \mathbb{R}^2$

$X = \mathbb{R}^2 - \{0\}$

Answer 3

Vale la pena señalar que la segunda condición se deduce de la primera.

Si $\operatorname{Area}(Y\setminus X) = 0$, entonces como $X \subseteq \overline{X}$, tenemos $Y\setminus\overline{X} \subseteq Y\setminus X$, por lo tanto

$$\operatorname{Area}\left(Y\setminus\overline{X}\right) \leq \operatorname{Area}(Y\setminus X) = 0$$

y por lo tanto $\operatorname{Area}\left(Y\setminus\overline{X}\right) = 0$. Es decir,

$$\operatorname{Area}(Y\setminus X) = 0 \Rightarrow \operatorname{Area}\left(Y\setminus\overline{X}\right) = 0.$$

Entonces, si encuentras un ejemplo del primer tipo, automáticamente es un ejemplo del segundo tipo también. Como ya se ha establecido, existen ejemplos del primer tipo.