¿Ejemplos de variedades complejas con grupo Néron-Severi trivial?

Question

$\DeclareMathOperator\NS{NS}\DeclareMathOperator\Pic{Pic}$Sea $X$ una variedad compleja compacta, asumiendo proyectiva si así lo desea. Defina el grupo Néron–Severi como el cociente $$\NS(X) = \Pic(X) / \Pic^0(X).$$ Supongamos que $\Pic(X) = \Pic^0(X) \neq 0$. Por lo tanto, todos los divisores son equivalentes algebraicamente, y (por definición) el número de Picard es cero.

¿Podemos inferir alguna información geométrica a partir de esta restricción (¿limita otros invariantes como la dimensión de Kodaira, la curvatura, etc.)? ¿Existen ejemplos de tales $X$? ¿Hay muchas ejemplos de este tipo?

Answer 1

Hay un ejemplo de Kähler construido en [1, Sección 1].

Sea $\Gamma = \mathbb{Z}^{2n}$ una retícula, $\phi: \Gamma \to \Gamma$ un mapa lineal de $\mathbb{Z} $ con polinomio característico $f(\lambda)=\prod_{i=1}^n(\lambda - \lambda_i)(\lambda - \overline{\lambda_i}) $ donde $\lambda_1,\cdots,\lambda_n,\overline{\lambda_1},\cdots,\overline{\lambda_n}$ son números complejos no reales distintos. Entonces $\Gamma_\mathbb{C}=\Gamma \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{C}$ tiene descomposición $\Gamma_\mathbb{C} = \Gamma' \oplus \overline{\Gamma'}$ donde $\Gamma'$ es el espacio propio de los valores propios $\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$. Entonces tenemos un toro complejo $T=\Gamma_\mathbb{C}/\Gamma'\oplus \Gamma$ de dimensión compleja $n$. Y [1] demostró que, para $n\ge2$, si el grupo de Galois de $f$ es el grupo simétrico $2n$-ésimo, entonces ${\rm NS}(T)=0$.

[1] C. Voisin. Sobre los tipos de homotopía de variedades compactas de Kähler y complejas proyectivas, Inventiones Math. Volumen 157, Número 2, 329 - 343.