Mostrar que el número no es primo

Question

$x, y>2$ y $\in\mathbb{N}$. Demuestra que si $x^2+y^2-1$ es divisible por $x+y-1$, entonces $x+y-1$ no es primo.

$$x^2+y^2-1=(x+y)^2-1-2xy=(x+y-1)(x+y+1)-2xy$$ Por lo tanto, $2xy=k(x+y-1), k\in\mathbb{N}$. Algunos pasos más: si $x+y-1$ es par, entonces no hay nada de qué hablar, así que supongamos que $x+y-1$ es impar. Entonces $xy=k'(x+y-1), k'\in\mathbb{N}$, además, $x$ y $y$ son ambos pares o ambos impares. Y... me quedé atascado.

Answer 1

Sea $p$ un número primo. Si $p$ divide un producto, $p\mid abc$, entonces $p$ divide uno de los factores, $p\mid a$ o $p\mid b$ o $p\mid c$ (Lema de Euclides).

Ahora, si $x+y-1$ fuera primo...

...dividiría a $2,\; x$, o $y$. Pero es mayor que los tres.