Los dos últimos dígitos de $9^{9^9}$

Question

He intentado calcular los dos últimos dígitos de $9^{9^9}$ utilizando el teorema del Totiente de Euler, lo que obtuve es que es igual a los dos últimos dígitos de $9^9$ .

¿Cómo puedo seguir adelante?

Answer 1

El Teorema de Euler no es necesario. Puede ser completamente resuelto utilizando sólo el Teorema del Binomio:

$$\rm 9^{\color{#c00}{\large 10}} =\ (-1+10)^{\color{#c00}{\large 10}} =\: (-1)^{\color{#c00}{\large 10}} - \color{#c00}{10}\cdot 10 + 10^{\large 2}\:(\cdots)\ \color{}{\equiv\ 1}\ \ (mod\ 100)$$

Así que $\rm \bmod 100\!:\, \ 9^{\large 9^{\LARGE 9}}\!\!\equiv\ 9^{\large 9^{\LARGE 9}\, mod\ \color{#c00}{10}} \equiv\ 9^{\large (-1)^{\LARGE 9}}\!\! \equiv 9^{\large -1}\!\equiv \dfrac{1}9 \equiv \dfrac{-99}9 \equiv {-}11 \equiv 89 $

Nota: $ $ Más arriba utilizamos el hecho útil de que si las potencias de $\,a=9\,$ repetir con la longitud del período $\color{#c00}{10}\,$ entonces todos los exponentes en $\,a\,$ se puede tomar como módulo $\,\color{#c00}{10}.\,$ Dicho de forma más precisa, utilizamos lo siguiente

$$\ \ \color{#c00}{a^{\color{#c00}{\large 10}}\equiv 1}\!\!\pmod{\!m},\,\ J\equiv K\!\!\!\pmod{\!\color{#c00}{10}}\ \,\Rightarrow\,\ a^{\large J}\equiv a^{\large K}\!\!\!\!\pmod{\!m}$$

para los valores específicos $\ a=9,\,$ y $\,J = 9^{\large 9},\,$ y $\,K = (9^{\large 9}\,{\rm mod}\ 10).\,$ Una prueba es fácil:

$$ J = K\! +\! 10N\,\Rightarrow\, a^{\large J}\! = a^{\large K+10N}\! = a^{\large K} (\color{#c00}{\large a^{10}})^{\large N}\!\equiv a^{\large K} \color{#c00}1^{\large N}\!\equiv a^{\large K}\!\!\!\!\pmod{\!m}\qquad $$

donde hemos empleado el $ $ Producto de congruencia y reglas de poder. Para más información, véase reducción de orden modular.

Cuidado con $ $ La aritmética modular de fracciones está bien definida sólo para fracciones con denominador coprime al módulo. Ver aquí para seguir discutiendo.

Answer 2

Por el teorema del binomio tenemos $$(-1+10)^9\equiv{9\choose0}(-1)^910^0+{9\choose1}(-1)^810^1+{9\choose2}(-1)^7{\color{Red}{10^2}}+\cdots$$ $$\equiv-1+90=89\pmod{10^2}.$$ (Todos los sumandos con potencias de $10$ mayor que $1$ la primera instancia en rojo, puede ser ignorada).

Answer 3

En este punto, me parece que lo más fácil es hacer $9^9 \mod 100$ a mano. El cálculo sólo debería llevar unos minutos. En particular, puede calcular $9^3$ y luego lo cubrimos.