Actualmente estoy leyendo el libro 'Técnicas computacionales para la dinámica de fluidos', de C.A.J. Fletcher. En el Capítulo 2 se discute la clasificación de las EDP encontrando el número y la naturaleza de sus características. Sin embargo, hay una sección sobre encontrar características de las EDP de segundo orden (2.1.3), que me tiene un poco confundido.
Ellos dan una EDP de segundo orden generalizada como:
$$A\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+H=0\tag{1}$$
donde $A$, $B$ y $C$ son funciones de $x,y$ y $H$ contiene todos los términos de derivadas de primer orden. Luego introducen algunas variables nuevas para simplificar la notación:
$$P=\frac{\partial u}{\partial x}, Q=\frac{\partial u}{\partial y}, R=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, S=\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}, T=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$
Luego declaran que se introduce una curva K y a lo largo de una tangente a K, las diferenciales de $P$ y $Q$ satisfacen:
$$dP=Rdx+Sdy\tag{2}$$
$$dQ=Sdx+Tdy\tag{3}$$
Usando las sustituciones anteriores, la EDP original se puede escribir:
$$AR+BS+CT+H=0$$
Luego, las ecuaciones (2) y (3) se utilizan para eliminar $R$ y $T$ en la ecuación anterior, que luego se reorganiza para dar lo siguiente:
$$S\Bigl[A\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^2-B\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)+C\Bigr]-\Bigl\{\Bigl[A\Bigl(\frac{dP}{dx}\Bigr)+H\Bigr]\frac{dy}{dx}+C\frac{dQ}{dx}\Bigr\}=0\tag{4}$$
Luego declaran que si:
$$A\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^2-B\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)+C=0\tag{5}$$
entonces eso elimina el término de la izquierda en la ecuación (4), lo que produce una relación más simple entre $\frac{dP}{dx}$ y $\frac{dQ}{dx}$. Las soluciones de la ecuación (5) definen las curvas características para la EDP.
Entonces, aquí es donde estoy confundido: ¿por qué eligieron dividir la ecuación (4) de esa manera? Según entiendo, el objetivo de encontrar las curvas características es reducir una EDP a una diferencial total, para que pueda resolverse más fácilmente. Sin embargo, ¿cómo se ha logrado este objetivo, cuando los términos $P$, $Q$ y $H$ en el lado derecho de la ecuación (4) todavía contienen diferenciales parciales? Dado que todavía contiene diferenciales parciales, ¿cómo es más útil la forma reducida de la ecuación y por qué la ecuación (5) proporciona las curvas características?
¡Gracias de antemano!
