Comprueba la convergencia de la secuencia y encuentra su límite

Question

Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con:

$$f(x) = \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}$$

Consideramos la secuencia $x_n$, teniendo $x_0 \in \left ( 0, \frac{1}{2} \right )$ y $x_{n+1} = f(\frac{1}{x_n})$, para cualquier $n \in \mathbb{N}$.

Demuestra que $x_n$ es convergente y encuentra su límite.

Hasta ahora, solo he encontrado que $x_n > 0$ $\forall n \in \mathbb{N}$. No tengo idea de qué hacer a continuación.

Gracias de antemano.

Answer 1

Esquema:

• Primero, $f$ es innecesariamente confuso, debido a los recíprocos. En su lugar, escriba $g\colon(0,\infty)\to\mathbb{R}$ con $g(x) = x^2 e^x$ (es decir, $f(x) = g(\frac{1}{x})$: su relación de recurrencia ahora es $$ x_{n+1} = g(x_n) \qquad n\in\mathbb{N}. $$

• Ahora queremos demostrar que $(x_n)_n$ es una secuencia decreciente y positiva. Por convergencia monótona, convergerá.

  • Demuestre que $x\mapsto \frac{g(x)}{x} = x e^x$ es creciente en $(0,\infty)$, y está acotada entre $0$ y $1$ en $(0,1/2]$. ¿Por qué? Porque entonces $\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{g(x_n)}{x_n}$ será, por inducción, en $(0,1)$.

  • Use lo anterior para demostrar que efectivamente $(x_n)_n$ es una secuencia decreciente y positiva.

  • Concluya por convergencia monótona.

• Ahora que ha demostrado la convergencia, sabe que existe $\ell\in[0,1/2]$ tal que $x_n \xrightarrow[n\to\infty]{} \ell$. Por continuidad de la función $g$, este $\ell$ debe satisfacer $$ \ell = g(\ell) $$ es decir, $\ell^2 e^\ell = \ell$. Las soluciones son o bien $0$, o valores de $\ell$ tales que $\ell e^\ell = 1$. Pero por lo anterior, $x e^x \in (0,1)$ para todo $x\in (0,1/2]$, así que no hay solución ahí... Por lo tanto, el único límite posible es $0$.