Mostrar que $\vec x^TA$ es una combinación lineal de las filas de la matriz $A$

Question

Sea $\vec x^T = (x_1,x_2,\ldots,x_n)$ un vector fila en $\mathbb R^n$, y sea $A$ una matriz $n\times m$. Muestra que $\vec x^TA$ es una combinación lineal de las filas de la matriz $A$.

Creo que debería ser algo como $\vec x^TA = \operatorname{Row}(A) = \operatorname{span}\{\text{filas de }A\}$, pero no estoy muy seguro de por dónde empezar para demostrar esto.

Answer 1

Bueno, $A^tx$ es un vector columna que puede escribirse como una combinación lineal de las columnas de $A^t$, es decir, la transpuesta de las filas de $A$. Por lo tanto, $x^tA$ es la transpuesta del vector anterior, que ahora es un vector fila que puede escribirse como una combinación lineal de las filas de $A$.

Answer 2

Si quieres ver esto con claridad, solo escríbelo. Tenemos

$$\begin{equation} \begin{split} x^TA &= (x_1, x_2, \ldots, x_n)\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} \end{array} \right) \\ &= \left( \begin{array}{c} a_{11}x_1+ \cdots + a_{n1}x_n \\ a_{12}x_1+ \cdots + a_{n2}x_n \\ \vdots \\ a_{1m}x_1+ \cdots + a_{nm}x_n \end{array} \right)^T \end{split} \end{equation}$$

Después de 'factorizar' cada $x_i$, puedes ver claramente que queda una combinación lineal de las filas de la matriz $A$.

Answer 3

Sea $e_i$ la $i$-ésima fila de la matriz identidad de $n\times n$. El elemento $j$-ésimo de $e_i$ es entonces $\delta_{ij}$, el delta de Kronecker, que es igual a uno cuando los índices son iguales y cero en caso contrario. Por la definición de multiplicación de matrices, el elemento $j$-ésimo de $e_iA$ es igual a $\sum_{k=1}^n \delta_{ik}a_{kj} = a_{ij}$. En otras palabras, $e_iA$ es igual a la $i$-ésima fila de $A$.

Ahora, $x$ se puede escribir como una combinación lineal de los $e_i$ (¡verifícalo!), por lo tanto, por linealidad $xA$ debe ser una combinación lineal de las filas de $A$. De hecho, deberías ser capaz de escribir la combinación lineal exacta en términos de los elementos de $x$.