¿Cómo se relaciona la secuencia tribonacci con las funciones hiperbólicas?

Question

La secuencia de Fibonacci siempre me ha fascinado por su belleza. Fue en la escuela secundaria donde pude entender cómo la razón entre 2 términos consecutivos de una secuencia puramente entera se convirtió en un hermoso número irracional.

Entonces ayer me pregunté si en lugar de 2 términos, mantuviéramos 3 términos. Así que escribí un programa en python para calcular la razón. En el término 10000 resultó ser cercano a 1,839...

Después de investigar en OEIS y Wikipedia, descubrí que la serie es popular y se conoce como la secuencia tribonacci. Pero lo que más me sorprendió fue la razón exacta dada en este enlace.

La constante tribonacci $$\frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}} + \sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}{3} = \frac{1+4\cosh\left(\frac{1}{3}\cosh^{-1}\frac{19}{8}\right)}{3} \approx 1,83928675$$ (secuencia A058265 en la OEIS)

Me pregunto cómo una secuencia con nada más que números naturales nos lleva a la geometría no euclidiana. Me pregunto si alguien podría decirme cómo están relacionados estos dos.

Nota: En realidad no quiero la solución exacta que sería extremadamente difícil de entender para un estudiante de secundaria como yo, solo quiero saber si hay una forma de conectar la teoría de números y la geometría no euclidiana.

Answer 1

Similar to De Moivre's formula:

$$\cos nx \pm i\sin nx = (\cos x\pm i\sin x)^n$$

hay la fórmula de De Moivre hiperbólica:

$$\cosh nx \pm \sinh nx = (\cosh x\pm\sinh x)^n$$

lo que significa esto: si puedes representar un número real $a$ como $a=\cosh x\pm\sinh x$, entonces $\sqrt[n]{a}=\cosh (x/n)\pm\sinh (x/n)$. En otras palabras, las funciones trigonométricas hiperbólicas pueden ayudarnos a exponenciar y tomar raíces. (Nota que las funciones trigonométricas "ordinarias" pueden hacer lo mismo - para raíces de números complejos.)

En este caso, tomemos $x=\pm\cosh^{-1}\left(2+\frac{3}{8}\right)$ de modo que $\cosh x=2\frac{3}{8}=\frac{19}{8}$. Esto (a partir de la identidad bien conocida $\cosh^2x-\sinh^2x=1$) nos da $\sinh x=\pm\frac{3\sqrt{33}}{8}$. Ahora, tomemos $a=\frac{1}{8}(19\pm 3\sqrt{33})=\cosh x\pm \sinh x$. Todo lo que queda es aplicar la fórmula de De Moivre hiperbólica con $n=3$ para tomar la raíz cúbica y demostrar que la fórmula del artículo de Wikipedia que has citado es correcta.

Answer 2

Me pregunto cómo una secuencia con solo números naturales nos lleva a la trigonometría. Me pregunto si alguien me podría decir cómo están relacionados estos dos.

Brevemente, la razón entre términos consecutivos de la secuencia Tribonacci

se acerca a la raíz real de $x^3-x^2-x=1$

(como la de la secuencia Fibonacci se acerca a la raíz positiva de $x^2-x=1$),

y la solución de esa ecuación cúbica puede ser expresada en términos de funciones hiperbólicas.

Answer 3

1. Los términos de una recurrencia lineal de orden $n$ se calculan a partir de las raíces de una ecuación polinómica de grado $n$ (la ecuación característica de la recurrencia, los coeficientes del polinomio son los mismos que los coeficientes de la recurrencia)

2. Aquí $n=3$ por lo que obtenemos una ecuación cúbica para resolver

3. Las raíces de una ecuación cúbica pueden expresarse usando raíces cúbicas, pero esto involucra números complejos, incluso si las soluciones son todas reales. Resultados equivalentes que permanecen dentro de expresiones de valores reales involucran la operación similar a la raíz cúbica de pasar de $\cos(t)$ a $\cos(t/3)$ (trisección de ángulo) cuando hay 3 soluciones reales, o de $\cosh(t)$ a $\cosh(t/3)$ cuando hay 1 solución real, con el coseno (ordinario o hiperbólico) con argumento $t$ teniendo valores que son funciones racionales (o quizás raíz cuadrada) de los coeficientes de la ecuación cúbica. Esta es la "solución trigonométrica de la cúbica" utilizada para evitar expresiones con números complejos.

La trisección hiperbólica del ángulo es solo otra manera de decir "el término $n$-ésimo de la recurrencia es $p\alpha^n + q\beta^n + r\gamma^n$ para $\alpha,\beta,\gamma$ las tres raíces de la ecuación característica", la trisección hiperbólica siendo una forma de expresar la operación de extraer las raíces. La raíz más grande ~ 1.839 es la constante Tribonacci.