Pregunta sobre la desviación cuadrática de la energía en el límite termodinámico

Question

Sabemos que $$ \langle ( E_j - \langle E_j \rangle )^2 \rangle = - \frac{\partial}{\partial \beta} \langle E_j \rangle $$ Y en el límite termodinámico $ \langle E_j \rangle \longrightarrow U $

En el libro Introducción a la Física Estadística de Silvio R. A. Salinas, hay el siguiente texto:

Haciendo la identificación entre el valor esperado de energía y la energía termodinámica interna, tenemos $$ \langle ( E_j - \langle E_j \rangle )^2 \rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta} U = k_B T^2 \frac{\partial U}{\partial T} = Nk_B T^2 c_V \geq 0 $$

¿De dónde proviene ese $ k_B T^2 \frac{\partial U}{\partial T} $?

Answer 1

$$ T= \frac{1}{\beta} \implies \frac {\partial T}{\partial \beta} = - \frac {1}{\beta^2} = - T^2$$

por lo tanto, usando la regla de la cadena:

$$ - \frac {\partial U}{\partial \beta} = - \frac {\partial U}{\partial T} \frac {\partial T}{\partial \beta} = T^2 \frac {\partial U}{\partial T} $$