Mostrar que $\exists c \in \mathbb{R} : f(c) = 0$

Question

Sea $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ una función diferenciable tal que $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) > 2$.

¿Qué podría hacer para demostrar que $\exists c \in \mathbb{R} : f(c) = 0$ ?

Al principio pensé que podría usar el teorema del valor medio pero no me ayudó. De hecho, no entiendo realmente por qué $f(x)$ no podría ser estrictamente positivo $\forall x \in \mathbb{R}$.

¿Sabrías cómo proceder?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Del teorema del valor medio se obtiene $$ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} > 2 $$ para todo $x$ distinto de cero. Se sigue que $$ f(x) \ge f(0) + 2x \text{ para } x > 0 $$ y $$ f(x) \le f(0) + 2x \text{ para } x < 0 $$ por lo que $f$ necesariamente toma valores tanto positivos como negativos. Ahora concluye con el teorema del valor intermedio.