Pregunta sobre singularidad esencial, mostrando que $f(z)$ no puede tener una singularidad esencial en cierto punto.

Question

¡Buen momento del tiempo! Estoy preparándome para un examen y me quedé atascado con uno de los problemas.

Demuestra que si $f$ es holomorfa en un vecindario perforado de $z = a$, y satisface en este vecindario $|f(z)| ≤ M|z − a|^{−n}$ para algún $M > 0$ y $n > 0$, entonces $z = a$ no es una singularidad esencial de $f.

Primero intenté mirar a $g(z)=\frac{1}{f(z)}$ para demostrar que $z=a$ en realidad es una singularidad removible, pero no pude acotarla (para usar el teorema de Riemann). Luego intenté usar la contradicción-- suponer que es una singularidad esencial y obtener una contradicción del hecho de que $f(0<|z − a|<\epsilon)$ es denso, pero me quedé atascado de nuevo...

¡Gracias!

Answer 1

Según el gran teorema de Picard, una función holomorfa $f$ en cualquier vecindario perforado de una singularidad esencial toma todos los valores posibles en $\mathbb{C}$ excepto quizás uno. Sin embargo, esta función está acotada en un disco perforado abierto de radio $r>0$: $$|f(z)|\leq M|z-a|^{-n}\leq \frac{M}{r^n}$$

Answer 2

Además de Casorati o Picard, también se puede argumentar de la siguiente manera: La función $g(z)=f(z)(z-a)^n$ es holomorfa en un vecindario perforado de $z=a$ y satisface $|g(z)|\leq M$ allí. Por lo tanto, $g$ se puede extender holomórficamente a $z=a$ (Teorema de Riemann). Pero entonces $f(z)=g(z)/(z-a)^n$ tiene un polo de orden a lo sumo $n$ en $z=a'.