Prueba de cortes medibles

Question

Demuestra que el conjunto $D=\{(x,x): x \in [0,\frac{1}{2}]\}$ tiene todas las secciones medibles pero no es medible contra el cuerpo $\sigma$-producto $\mathcal{A} \otimes \mathcal{A}$.

Comencé con esto: $D_{x_0}= \{x_0\}$ para $x_0\le \frac{1}{2}$ y $\emptyset$ para $x_{0} > \frac{1}{2}.$

Por lo tanto, el conjunto D tiene todas las secciones que son medibles porque $\emptyset \in \mathcal{A}$ y $\{x_{0}\} \in \mathcal{A}$. Sin embargo, tengo un problema para demostrar que $D$ no es medible con respecto al cuerpo $\sigma$-producto $\mathcal{A} \otimes \mathcal{A}$. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo demostrar esto?

Answer 1

Ok, El espacio medible es $([0,1],\mathcal{A})$ donde $\mathcal{A}$ es la $\sigma$-álgebra generada por los subconjuntos contables de $[0,1]$.

Consideremos $f: [0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$ definida por $f(x)=(x,x)$. Es fácil ver que $f$ es una función medible (basta considerar la preimagen de rectángulos $A \times B$ donde $A$ y $B$ son contables o tienen complemento contable).

Ahora, si $D \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{A}$ entonces deberíamos tener $\left [0,\frac{1}{2} \right ] = f^{-1}(D) \in \mathcal{A}$. Entonces $D \notin \mathcal{A} \otimes \mathcal{A}$.

Observación: Dado que $\mathcal{A}$ es la $\sigma$-álgebra generada por los subconjuntos contables de $[0,1]$, tenemos que $\mathcal {A} = \{ E \subset [0,1] : E \textrm{ o } E^c \textrm { es contable }\}$

De hecho, es fácil verificar que $\{ E \subset [0,1] : E \textrm{ o } E^c \textrm { es contable }\}$ es una $\sigma$-álgebra y es claramente la más pequeña $\sigma$-álgebra que contiene a los subconjuntos contables de $[0,1]$. Por lo tanto, $\{ E \subset [0,1] : E \textrm{ o } E^c \textrm { es contable }\}$ es la $\sigma$-álgebra generada por los subconjuntos contables de $[0,1]$.