Prueba que un número negativo elevado a una potencia de un número irracional no puede ser real.

Question

Deseo demostrar que $(-x)^r \neq y$ para $x>0$ y $x,y,r\in \mathbb{R}$ y $r\notin\mathbb{Q}$.

Intenté demostrarlo de esta manera; $$(-x)^r = (-1)^r \cdot x^r = x^r \cdot e^{\pi i r} = x^r(\cos(\pi r) + i\sin(\pi r))$$ Para que sea real, $\sin(\pi r)$ tiene que ser $0$; $$\sin(\pi r) = 0 \\ \pi r = 0 + \pi k, \ \ \,\,\, k\in\mathbb{Z} \\ r = k$$ Pero algo debe estar mal en esta demostración, porque pruebo que $r$ debe ser un entero, pero en realidad no tiene por qué serlo; $(-1)^{\frac{1}{3}} = -1$.

Entonces, ¿qué está mal con esta demostración y cómo puedo demostrarlo correctamente?

Answer 1

Bueno, hay 2 formas diferentes de definir la función potencia (en el mundo complejo). Si deseas tener solo una solución para cualquier potencia, entonces puedes usar la fórmula de Euler como lo hiciste, y de esta manera $(-1)^{\frac{1}{3}}$ no será $-1$, será $(-1)^{\frac{1}{3}}=e^{\frac{i\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=0.5+0.5\sqrt{3}i$.

En la segunda forma, debes escribir la fórmula de Euler así; $e^{i\pi r}=\cos(r(\pi+2\pi k))+i\sin(r(\pi+2\pi k))$ para cualquier entero $k$.

Así que ahora puedes demostrar tu pregunta original de esta manera;$$(-x)^r=(-1)^r\cdot x^r=x^r\cdot e^{i\pi r}=x^r(\cos(\pi r+2\pi rk)+i\sin(\pi r+2\pi rk))\\\sin(\pi r+2\pi rk)=0\\\pi r(1+2k)=0+\pi n\\r=\frac{n}{1+2k}\in\mathbb{Q}$$. EDIT: Puedes ver más sobre las 2 formas aquí.