¿Existe una función dada el producto interno?

Question

Actualmente estoy tratando de encontrar una función distinta de cero $h(x)$ en el conjunto $\{1,x,x^2\}$ tal que $\langle h,1\rangle = 0$ y $\langle h,x\rangle = 0$ donde el producto interno está definido por $\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x)~dx$ pero estoy teniendo problemas para encontrar uno.

¿Existe tal ejemplo?

---

Mi trabajo: puse coeficientes $a,b,c$ delante de los términos abarcados y evalué las dos condiciones. Me quedé con $a + b/2 + c/3 = 0$ y $a/2 + b/3 + c/4 = 0$. No sé qué hacer a partir de aquí.

Answer 1

Supongamos que $h=k_1+k_2x+k_3x^2$, entonces tenemos$$\begin{align*}\int_0^1(k_1+k_2x+k_3x^2)\cdot1~dx=0&\iff k_1+k_2/2+k_3/3=0\\\int_0^1(k_1+k_2x+k_3x^2)\cdot x~dx=0&\iff k_1/2+k_2/3+k_3/4=0\end{align*}$$Podemos resolver para $k_i$ de la siguiente manera:$$k_1=-k_2/2-k_3/3=-2k_2/3-k_3/2\implies k_2+k_3=0$$Así obtenemos $k_1=-k_2/6,k_3=-k_2$. Podemos seleccionar cualquier valor para $k_2$, digamos $k_2=1,k_3=-1,k_1=-1/6$. De hecho, el cuadrático general que satisface nuestro requisito es un múltiplo constante de $(-1/6+x-x^2)$ como$$k_1+k_2x+k_3x^2=k_2(-1/6+x-x^2),k_2\in\Bbb R$$