Inclusion exclusión, cálculo-física-química

Question

Hay 360 personas en mi escuela. 15 toman cálculo, física y química, y 15 no toman ninguno de ellos. 180 toman cálculo. El doble de estudiantes toman química que física. 75 toman tanto cálculo como química, y 75 toman tanto física como química. Solo 30 toman tanto física como cálculo. ¿Cuántos estudiantes toman física?

Terminé obteniendo 110. Permíteme explicar mi proceso de pensamiento. 15 personas no están tomando clases, así que realmente solo estamos considerando aquí a 360 - 15 = 345 personas. ¿Cómo obtenemos las 15 que toman los 3? Usando inclusión-exclusión, es 345 - 2P - P - 180 + 75 + 75 + 30 = 15. Resolviendo para P obtenemos 110. ¿Es esto correcto?

Actualización: Según un comentario, hay una respuesta proporcionada aquí: https://web2.0calc.com/questions/please-help-me-i-have-one-trie-lefft

Hay 360 personas y 345 personas tomando cursos. 15 toman los 3 y 60 solo toman Cálculo porque 75+30+15+60=180.

Luego, para encontrar el número total de personas que solo están tomando física o solo están tomando química, resté 240 de 345 porque 240 (69+75+75+30) es todos los que están tomando cursos excepto las personas que solo están tomando física o química. Descubrí que 105 están tomando solo física o solo química.

digamos que z=solo física

y=solo química

105=y+z o y=105-z

También, x=el número total de personas que están tomando física (entonces 2x es el número total de personas que están tomando química)

Ahora:

2x=75+75+15+y

x=45+y-z

75+45+z=45+y-z

75+2z=y y de antes: y=105-z

75+2z=105-z

z=10 así que 10 personas solo toman física

Finalmente, el número de personas que están tomando física es 10 (solo) + 75 (física y química) +30 (y cálculo) + 15 (los tres) = 130. 130 estudiantes están tomando física.

Pero obtienen una respuesta diferente - 130 comparado con mi 110. ¿Quién está correcto aquí?

Answer 1

Su respuesta de $(110)$ es correcta. Mi enfoque alternativo utiliza una tabla de verdad.

\begin{array}{| r | r | r | r| r |} \hline \text{Cálculo} & \text{Física} & \text{Química} & \text{Variable} & \text{Valor} \\ T & T & T & x_1 & 15 \\ \hline T & T & F & x_2 & 15 \\ \hline T & F & T & x_3 & 60 \\ \hline T & F & F & x_4 & 90 \\ \hline F & T & T & x_5 & 60 \\ \hline F & T & F & x_6 & \\ \hline F & F & T & x_7 & \\ \hline F & F & F & x_8 & 15 \\ \hline \end{array}

Por el momento, ignore los valores publicados. Restricciones:

$$x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_8 = 360.\tag1 $$ $$x_1 = 15.\tag2 $$ $$x_8 = 15.\tag3 $$ $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 180.\tag4$$ $$x_1 + x_3 = 75.\tag5 $$ $$x_1 + x_2 = 30.\tag6 $$ $$x_1 + x_5 = 75.\tag7 $$ $$x_1 + x_3 + x_5 + x_7 = 2(x_1 + x_2 + x_5 + x_6).\tag8$$

$$x_1 + x_2 + x_5 + x_6 = ?.\tag9$$

Las ecuaciones (2), (3), (5), (6) y (7) anteriores conducen inmediatamente a los valores publicados de $x_1, x_8, x_2, x_3,$ y $x_5$.

Con $x_1, x_2, x_3$ ahora determinados, la ecuación (4) resuelve $x_4$.

Queda por resolver $x_6$.

Con todas las variables excepto $x_6, x_7$ determinadas, las ecuaciones (1) y (8) producen:

$$x_6 + x_7 = 105.$$

$$135 + x_7 = 2(90 + x_6) \implies $$

$$x_7 = 45 + 2x_6 = 105 - x_6 \implies $$ $$3x_6 = 60 \implies x_6 = 20.$$

Ahora, la ecuación (9) se puede resolver:

$$x_1 + x_2 + x_5 + x_6 = 15 + 15 + 60 + 20 = 110.$$

Answer 2

Estoy de acuerdo con tu respuesta de que 110 toman física.

En la solución vinculada a:

"Hay 360 personas y 345 personas tomando cursos. 15 toman los 3 y 60 solo toman Cálculo porque 75+30+15+60=180."

Hay un problema de signo aquí. Deberíamos restar el $15$ y no sumar. Podríamos decir, $75+30-15+90=180$ o $x + (75-15) + (30-15) = 180$ y al resolver para $x$ obtenemos $x = 90.$

No tengo ni idea de lo que la próxima línea está tratando de decir.

Entonces, simplemente detengámonos allí.