¿Es la diagonalización congruente de una matriz simétrica necesariamente una similar?

Question

Se puede demostrar que para una matriz simétrica real $A$, existe una matriz ortogonal $Q$ tal que $$Q^TAQ=Q^{-1}AQ=\Lambda,$$ donde $\Lambda$ es la matriz diagonal cuyas entradas son los valores propios de $A$.

Mi pregunta surge al considerar la "conversa": si $Q^TAQ=\Lambda$ para $A$ real y simétrica, y $\Lambda$ nuevamente denota la matriz diagonal de valores propios, ¿se puede afirmar que $Q$ es ortogonal?

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Creo que a primera vista no es cierto, ya que hay muchas elecciones con las que podemos transformar de manera congruente $A$ en una matriz diagonal. Pero las cosas pueden volverse sutiles después de restringir que $\Lambda$ sea una matriz especial que consiste en los valores propios de $A$.

Puedo derivar $(QC)^TA(QC)=C^T\Lambda C$ para alguna matriz $C$, ¿tal vez podemos elegir algún $C$ para obtener un contraejemplo? ¿O podemos realmente probarlo? ¡Gracias!

Answer 1

Por ejemplo, $$\begin{pmatrix}0& \sqrt{\frac12}\\ \sqrt2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0 &2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0& \sqrt2\\ \sqrt{\frac12}&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 0 \\ 0& 2\end{pmatrix}$$

Answer 2

Aquí hay una generalización del contraejemplo de Saucy. Elija cualquier matriz ortogonal $V$ con alguna entrada fuera de la diagonal distinta de cero $v_{ij}$. Elija cualquier matriz diagonal positiva $\Lambda$ tal que $|v_{ij}\sqrt{\lambda_j/\lambda_i}|>1$. Entonces $Q=\Lambda^{-1/2}V\Lambda^{1/2}$ no es una matriz ortogonal (porque $|q_{ij}|=|v_{ij}\sqrt{\lambda_j/\lambda_i}|>1$) pero $Q^T\Lambda Q=\Lambda$.