Supongamos que lanzamos una tachuela 300 veces. Después de cada lanzamiento, anotamos $1$ si cae con la punta hacia arriba o $0$ si cae con la punta hacia abajo. En resumen, obtenemos 124 veces el resultado $1$.
Así que sabemos que el número de veces con el resultado $1$ es $\sim Bin(300,p)$ con un parámetro $p$ desconocido. Además, $\mathcal X:=[0,1]^{300}$, $\Theta:=[0,1]$, $p \in \Theta$ (¿esto es correcto?)
Ahora viene la tarea:
Define el término 'intervalo de confianza asintótico y exacto' para el nivel $1-\alpha>0$. Proporciona un intervalo de confianza del $95\%$ para la probabilidad de que la tachuela caiga con la punta hacia arriba.
Tengo las definiciones formales del intervalo de confianza asintótico y exacto, pero no las entiendo realmente. ¿Alguien podría explicármelas haciendo referencia a este ejemplo específico?
Las definiciones son:
$Definición$
Sea $(\mathbb P_\theta)_{\theta \in \Theta}$ un modelo estadístico con $\Theta \subset \mathbb R^n$ en el espacio muestral $\mathcal X$. Un parámetro real es una asignación $\gamma: \Theta \to \mathbb R$. Una asignación de valores de intervalo $$I:\mathcal X \to \mathcal P(\mathbb R), I(x)=[U(x),O(x)]$$ con las estadísticas $U,O: \mathcal X \to \mathbb R$ con $U \le O$ se llama una estimación por intervalo para el parámetro $\gamma$.
$Definición$
La probabilidad de cobertura de una estimación por intervalo $I$ para un parámetro $\gamma$ es la asignación $$\theta \to \mathbb P_\theta (\{x \in \mathcal X: \gamma(\theta) \in I(x)\}), \theta \in \Theta$$ Un nivel de confianza de una estimación por intervalo es la probabilidad de cobertura mínima $$\inf_{\theta \in \Theta} \mathbb P_\theta(\gamma(\theta) \in I(x))$$
$Definición$
Una estimación por intervalo $I$ se llama intervalo de confianza (exacto) para el nivel de confianza $1-\alpha$ (para un $\alpha$ fijo en $[0,1]$), si $$\forall \theta \in \Theta: \mathbb P_\theta(\gamma(\theta)\in I(x)) \ge 1-\alpha$$
$Definición$
Para todo $n \ge n_0$ dejemos que $I_n$ sea una estimación por intervalo en $\mathcal X^n$. Una secuencia $(I_n)_{n \ge 1}$ de estimadores por intervalo se llama intervalo de confianza asintótico para el nivel de confianza $1-\alpha$, si $$\forall \theta \in \Theta: {\lim \inf}_{n\to\infty}P^{\otimes n}_\theta(\{x\in\mathcal X^n:\gamma(\theta)\in I_n(x)\}) \ge 1-\alpha$$